球面上的田埂

hujunhua

$F_5+2F_4+3F_3=12$共有19组非负整数解，如下图所示

hujunhua

其中
1、004------正四面体
2、032------正三棱柱
3、060------立方体
4、113------无
5、141------无
6、222------存在
7、250------5棱柱
8、303------无？
9、331------正方体削一角
10、412------无
11、440------存在，见10#
12、521------？
13、602------三牙柱
14、630------？
15、711------？
16、820------四牙柱
17、901------？
18、10-1-0------？
19、12-0-0------正12面体
这就有10种等压多面体了。其中第6和第9种是zgg_遗漏了的。

hujunhua

但是第6种，如果真的用正方体削一角的话，削去的角达到正方形面的对角线了，削得的那个三角形太大了，以至3个5边形都只剩3个边了了，只有以极限的观点看才是5边形。

zgg___

To hujunhua 12和13层：
是呀，第6种222和第9种331我算过的，是不满足0<长度<Pi的要求的。
还有，对于某一个系列（12层有19个系列），我也无法证明其中一定只有一种球面等压多面体。（因此，严格的说，我现在不知道它们的数量是不是有限的，呵呵。）

hujunhua

是的,  第6种222和第9种331都不存在相应的等压体

wayne

12# hujunhua
很好很强大

zgg___

将已有的结果整理了一下，画了下图。如果有M7，可以下载附件转着看。

图中命名借鉴修改了hujunhua12层的方式（用xy表示有x个三角形y个四边形和12-3x-2y个五边形组成的体），这样可能存在的19种就是{00,01,02,03,04,05,06,10,11,12,13,14,20,21,22,23,30,31,40}，其中已经知道了7种（02,04的名字是胡起的，呵呵，看大家有没更好的名字），原先说的三牙柱是不满足条件的。

zgg___

看来只有这7种了。19种情况可以分为3类，第一类是上面的7个（00,02,04,05,06,23,40）；第二类是存在对应的多面体，但是不符合球面等压多面体条件的，如图（13,20,22）；第三类是不存在对应的多面体的（01,03,10,11,12,14,21,30,31）。

hujunhua

计算了一下，三牙柱的6个$F_5$无限趋近三角形。所以实际上是不存在这种等压体的。

楼上第3类的不存在性，个个都有证明吗？

zgg___

我昨天发帖时以为证明了第三类的不存在性和第一二类的唯一性（方法是穷举所有的小于等于9个节点、且每个节点满足度数要求的平面的所有非同构图，对于10和11个节点的单独证明），但是今天早上发现遗漏了03的一种，至少说明03是不属于第三类的，这个说明我昨天的穷举是有问题的，呵呵。