变色次数的期望值

niuhuang2003

设有m个黑球，n个白球，m<=n，将这些球排成一行，计算颜色改变次数的期望值。即计算颜色平均改变了多少次？

注意：当相邻两个球的颜色一致时，我们说颜色没有改变。颜色不一致时，则变色次数增加1。

只考虑一个方向。
比如2黑3白，可以由如下一种排法，
白黑黑白白
变色次数是2，不管你是正着数还是倒着数。

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我算的颜色改变次数的期望值F= $(\sum_{k=1}^m{2*(n+m-1)*C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)})/(\sum_{k=1}^m{(n+m)/k*C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)})$

谁能化简一下。
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具体数值
m,n   F
1,1    1
1,2   4/3
2,2    2
2,3  2.4
3,3    3

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上述式子化简后是否等于 $(2 * m * n) / (m + n)$.
检查了一些特殊的m、n，两式都相等

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化简：
$(\sum_{k=1}^m{2*(n+m-1)*C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)})/(\sum_{k=1}^m{(n+m)/k*C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)})$
=$2*(n+m-1)/{(n+m)/n}*(\sum_{k=1}^m{C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)})/(\sum_{k=1}^m{C_{n}^(k)*C_{m-1}^(k-1)})$

$ (1+x)^(n-1) * (x+1)^(m-1)$  的展开项乘积后的x^(m-1)项的系数=$\sum_{k=1}^m{C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)}$
而(1+x)^(n+m-2) 的展开项x^(m-1)项的系数=$C_{n+m-2}^(m-1)$
而两者是相等的。
同理利用$ (1+x)^n*(x+1)^(m-1)$  的展开项得：
   $ \sum_{k=1}^m{C_{n}^(k)*C_{m-1}^(k-1)}=C_{n+m-1}^m$
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代入原式化简得$2*(n+m-1)*n/(n+m)*C_{n+m-2}^(m-1)/C_{n+m-1}^m$
    =$(2*n*m)/(m+n)$

niuhuang2003

能否解释一下你的式子的意义。

但是，我感觉您的答案不对。

这题，要先得到变色次数为k时的排列个数，然后求期望值。

当然，排列的总个数是(m+n)!。

niuhuang2003

比如，K=1时，有两种排法。
全黑接全白；
全白接全黑。

056254628

2楼的计算公式，分子就是不同的变色次数乘以相应排列数的和，分母就是所有的排列数。
比如：m=2，n=3
k=1  白白白黑黑，黑黑白白白
k=2  白白黑黑白，白黑黑白白，黑白白白黑
k=3  白白黑白黑，白黑白白黑，黑白白黑白，黑白黑白白
k=4  白黑白黑白
总排列数=2+3+4+1=10
变色次数期望=(1*2+2*3+3*4+4*1)/10=2.4

niuhuang2003

是我错了。这是有重复元素的排列。总的排列数不是(m+n)!。

niuhuang2003

总的排列数应是(m+n)!/(m!*n!)。  =C(m+n,m)

niuhuang2003

再次请求，能否解释一下你的式子的意义。