一个与威尔逊定理相当的定理

wsc810

对威尔逊定理进行推广。当且仅当p为素数时有
$(p-k)!(k-1)!\equiv(-1)^k (mod p)$,
当k=1时，就是威尔逊定理（规定0!=1）可是自己还不会证明这个推广。
当$k=(p+1)/2$，利用组合数公式就可以得到
$((p-1),((p-1)//2))\equiv(-1)^{(p-1)/2} (modp)$
令p-1为2N,则该公式分母上为1到N个数的连乘积，分子为N+1,N+2到2N之间的连乘积。可以看到是将(p-1)!换了个形式，不知该公式还能否化简。

mathe

这个证明很简单
$(p-k)! -=1*2*...*(p-k) -= (-1)^{p-k}*(p-1)(p-2)*...*(p-(p-k)) -= (-1)^{k-1}*k*...*(p-1)(mod p)$
所以
$(p-k)!(k-1)! -=(p-1)!*(-1)^{k-1} -=(-1)^k(mod p)

mathematica

这个证明很简单
$(p-k)! -=1*2*...*(p-k) -= (-1)^{p-k}*(p-1)(p-2)*...*(p-(p-k)) -= (-1)^{k-1}*k*...*(p-1)(mod p)$
所以
$(p-k)!(k-1)! -=(p-1)!*(-1)^{k-1} -=(-1)^k(mod p)
mathe 发表于 2011-2-15 08:03

p=2时,需要验证一下!