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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 趣题妙解 › abc+def=ghij
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[提问] abc+def=ghij

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wayne
发表于 2011-3-7 20:00:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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abcdefghij 这10个字母是0-9这十个数字的一个全排列。
请问，满足abc+def=ghij 的有几种情况？
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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G-Spider
发表于 2011-3-7 21:47:48 | 显示全部楼层
写个程序试试。
  1. #include <stdio.h>
  2. void main()
  3. {
  4.         int count=0,sum=0,num1,num2,a,b,c,d,e,f;
  5.        
  6.         for(a=1;a<=9;a++)
  7.             for(b=0;b<=9;b++)
  8.             {
  9.                 if(a==b)
  10.                     continue;
  11.                 for(c=1;c<=9;c++)
  12.                 {
  13.                     if(a==c||b==c)
  14.                         continue;
  15.                         //**********************
  16.                         num1=a*100+b*10+c;
  17.                         for(d=1;d<=9;d++)
  18.                         {
  19.                            if(d==a||d==b||d==c)
  20.                                 continue;
  21.                                  //printf("good1 \n");
  22.                             for(e=0;e<=9;e++)
  23.                             {
  24.                                 if(d==e||e==a||e==b||e==c)
  25.                                     continue;
  26.                                 for(f=1;f<=9;f++)
  27.                                 {
  28.                                     if(d==f||e==f||f==a||f==b||f==c)
  29.                                         continue;
  30.                                     num2=d*100+e*10+f;
  31.                                     sum=num1+num2;
  32.                                     
  33.                                     if(sum<=1000||sum%10==a||sum%10==b||sum%10==c||sum%10==d||sum%10==e||sum%10==f
  34.                                     ||(sum/10)%10==a||(sum/10)%10==b||(sum/10)%10==c||(sum/10)%10==d||(sum/10)%10==e||(sum/10)%10==f
  35.                                     ||(sum/100)%10==a||(sum/100)%10==b||(sum/100)%10==c||(sum/100)%10==d||(sum/100)%10==e||(sum/100)%10==f
  36.                                     ||sum/1000==a||sum/1000==b||sum/1000==c||sum/1000==d||sum/1000==e||sum/1000==f
  37.                                     ||sum%10==(sum/10)%10||sum%10==(sum/100)%10||sum%10==sum/1000||(sum/10)%10==(sum/100)%10||(sum/10)%10==sum/1000||(sum/100)%10==sum/1000
  38.                                     )
  39.                                         continue;
  40.                                         count++;
  41.                                         printf("%d + %d = %d \n",num1,num2,sum);
  42.   
  43.                                     
  44.                                 }
  45.                             }
  46.                         }

  48.                 }
  49.             }
  50.             printf("count=%d\n",count);

  52. }

复制代码
结果：
  1. D:\vcPack\examples\num>nu
  2. 246 + 789 = 1035
  3. 249 + 786 = 1035
  4. 264 + 789 = 1053
  5. 269 + 784 = 1053
  6. 284 + 769 = 1053
  7. 286 + 749 = 1035
  8. 289 + 746 = 1035
  9. 289 + 764 = 1053
  10. 324 + 765 = 1089
  11. 325 + 764 = 1089
  12. 342 + 756 = 1098
  13. 346 + 752 = 1098
  14. 347 + 859 = 1206
  15. 349 + 857 = 1206
  16. 352 + 746 = 1098
  17. 356 + 742 = 1098
  18. 357 + 849 = 1206
  19. 359 + 847 = 1206
  20. 364 + 725 = 1089
  21. 365 + 724 = 1089
  22. 423 + 675 = 1098
  23. 425 + 673 = 1098
  24. 426 + 879 = 1305
  25. 429 + 876 = 1305
  26. 432 + 657 = 1089
  27. 437 + 589 = 1026
  28. 437 + 652 = 1089
  29. 439 + 587 = 1026
  30. 452 + 637 = 1089
  31. 457 + 632 = 1089
  32. 473 + 589 = 1062
  33. 473 + 625 = 1098
  34. 475 + 623 = 1098
  35. 476 + 829 = 1305
  36. 479 + 583 = 1062
  37. 479 + 826 = 1305
  38. 483 + 579 = 1062
  39. 487 + 539 = 1026
  40. 489 + 537 = 1026
  41. 489 + 573 = 1062
  42. 537 + 489 = 1026
  43. 539 + 487 = 1026
  44. 573 + 489 = 1062
  45. 579 + 483 = 1062
  46. 583 + 479 = 1062
  47. 587 + 439 = 1026
  48. 589 + 437 = 1026
  49. 589 + 473 = 1062
  50. 623 + 475 = 1098
  51. 624 + 879 = 1503
  52. 625 + 473 = 1098
  53. 629 + 874 = 1503
  54. 632 + 457 = 1089
  55. 637 + 452 = 1089
  56. 652 + 437 = 1089
  57. 657 + 432 = 1089
  58. 673 + 425 = 1098
  59. 674 + 829 = 1503
  60. 675 + 423 = 1098
  61. 679 + 824 = 1503
  62. 724 + 365 = 1089
  63. 725 + 364 = 1089
  64. 742 + 356 = 1098
  65. 743 + 859 = 1602
  66. 746 + 289 = 1035
  67. 746 + 352 = 1098
  68. 749 + 286 = 1035
  69. 749 + 853 = 1602
  70. 752 + 346 = 1098
  71. 753 + 849 = 1602
  72. 756 + 342 = 1098
  73. 759 + 843 = 1602
  74. 764 + 289 = 1053
  75. 764 + 325 = 1089
  76. 765 + 324 = 1089
  77. 769 + 284 = 1053
  78. 784 + 269 = 1053
  79. 786 + 249 = 1035
  80. 789 + 246 = 1035
  81. 789 + 264 = 1053
  82. 824 + 679 = 1503
  83. 826 + 479 = 1305
  84. 829 + 476 = 1305
  85. 829 + 674 = 1503
  86. 843 + 759 = 1602
  87. 847 + 359 = 1206
  88. 849 + 357 = 1206
  89. 849 + 753 = 1602
  90. 853 + 749 = 1602
  91. 857 + 349 = 1206
  92. 859 + 347 = 1206
  93. 859 + 743 = 1602
  94. 874 + 629 = 1503
  95. 876 + 429 = 1305
  96. 879 + 426 = 1305
  97. 879 + 624 = 1503
  98. count=96
复制代码
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wayne
 楼主| 发表于 2011-3-7 22:52:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2011-3-7 22:54 编辑

2# G-Spider
没想到你会用C来编程解决，
那偶就试试C++的吧，
  1. #include <iostream>
  2. #include <algorithm>
  3. using namespace std;
  4. #define makeNum(a,b,c) (m[a]*100+m[b]*10+m[c])
  5. int main () {
  6.   int m[] = {2,3,4,5,6,7,8,9,0};
  7.   int aa,bb,cc,cnt=0;
  8.   do {
  9.   aa=makeNum(0,1,2);
  10.   bb=makeNum(3,4,5);
  11.   cc=makeNum(6,7,8)+1000;
  12.   if (aa+bb==cc)
  13.     cout << aa << " + " << bb << " = " << cc << endl,++cnt;
  14.   } while ( next_permutation (m,m+9) );
  15. cout<<"count = " <<cnt<<endl;
  16.   return 0;
  17. }
复制代码
期待手工计算的方法出现， ～～
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hujunhua
发表于 2011-3-8 02:19:27 | 显示全部楼层
abc
+def
-----
ghij
三对齐位数a+d, b+e, c+f中的两数可以互换，具有这种互换关系的解可视为等价解，则每个等价类恰有8个解，从2#的结果可知实际上只有12个等价类。在每个等价类中选一个代表，这12个等价类是
  1. 246 + 789 = 1035
  2. 264 + 789 = 1053
  3. 324 + 765 = 1089
  4. 342 + 756 = 1098
  5. 347 + 859 = 1206
  6. 423 + 675 = 1098
  7. 426 + 879 = 1305
  8. 432 + 657 = 1089
  9. 437 + 589 = 1026
  10. 473 + 589 = 1062
  11. 624 + 879 = 1503
  12. 743 + 859 = 1602
  13. count=12
复制代码
12个解，也不算太多，手工解还是可能的。先进行一点简单分析。
1、 g=1, 这一点wayne已经用上
2、a+b+c+d+e+f=1+h+i+j=0(mod9)，h+i+j=8 或者17
3、0一定出现在等式右侧的四位数中。
        h+i+j=8时，显然。否则h+i+j>=2+3+4>8.
        h+i+j=17时，a+b+c+d+e+f=27. 若左侧若有0，必在b和e中，那么c+f>=12, a+d>=12. 并且a+b+c+d+e+f>=12+13+4=29. 矛盾。
4、h+i+j=8时，仅有0+2+6, 0+3+5两种组合； h+i+j=17仅有0+8+9一种组合。
5、由4推论，4，7必定在等式左侧。
6、j不为0. 假定j=0，可得ab+de=hi+99, 所以显然只有h+i=8. 将hi=26, 62, 35, 53分别代入检查易得无解。
7、所以等式右边只有1026、1062、1206、1602，1035、1053、1305、1503、1089、1098这10种情况，分别解决。

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wayne + 2 + 2

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hujunhua
发表于 2011-3-8 11:42:08 | 显示全部楼层
编程时可否不重复搜索等价解？
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mathe
发表于 2011-3-8 12:47:39 | 显示全部楼层
可以的,比如限定a<d,b<e,c<f.不过鉴于本题复杂度本来就很小,意义不大.
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hujunhua
发表于 2011-3-8 14:11:38 | 显示全部楼层
呵呵，我随便选的12个代表正好符合这个要求。
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wayne
 楼主| 发表于 2011-3-8 19:09:04 | 显示全部楼层
7# hujunhua
G-Spider的代码倒是可以灵活的改改的，我的就不行了
  1. #include <stdio.h>
  2. int main()
  3. {
  4.         int count=0,sum=0,num1,num2,a,b,c,d,e,f;
  5.         
  6.         for(a=1;a<=9;a++)
  7.             for(b=1;b<=9;b++)
  8.             {
  9.                 if(a==b)
  10.                     continue;
  11.                 for(c=1;c<=9;c++)
  12.                 {
  13.                     if(a==c||b==c)
  14.                         continue;
  15.                         //**********************
  16.                         num1=a*100+b*10+c;
  17.                         for(d=a+1;d<=9;d++)
  18.                         {
  19.                            if(d==b||d==c)
  20.                                 continue;
  21.                                  //printf("good1 \n");
  22.                             for(e=b+1;e<=9;e++)
  23.                             {
  24.                                 if(d==e||e==a||e==c)
  25.                                     continue;
  26.                                 for(f=c+1;f<=9;f++)
  27.                                 {
  28.                                     if(d==f||e==f||f==a||f==b)
  29.                                         continue;
  30.                                     num2=d*100+e*10+f;
  31.                                     sum=num1+num2;
  32.                                     
  33.                                     if(sum<=1000||sum%10==a||sum%10==b||sum%10==c||sum%10==d||sum%10==e||sum%10==f
  34.                                     ||(sum/10)%10==a||(sum/10)%10==b||(sum/10)%10==c||(sum/10)%10==d||(sum/10)%10==e||(sum/10)%10==f
  35.                                     ||(sum/100)%10==a||(sum/100)%10==b||(sum/100)%10==c||(sum/100)%10==d||(sum/100)%10==e||(sum/100)%10==f
  36.                                     ||sum/1000==a||sum/1000==b||sum/1000==c||sum/1000==d||sum/1000==e||sum/1000==f
  37.                                     ||sum%10==(sum/10)%10||sum%10==(sum/100)%10||sum%10==sum/1000||(sum/10)%10==(sum/100)%10||(sum/10)%10==sum/1000||(sum/100)%10==sum/1000
  38.                                     )
  39.                                         continue;
  40.                                         count++;
  41.                                         printf("%d + %d = %d \n",num1,num2,sum);
  42.   
  43.                                     
  44.                                 }
  45.                             }
  46.                         }

  48.                 }
  49.             }
  50.             printf("count=%d\n",count);
  51.         return 0;
  52. }
复制代码
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mathe
发表于 2011-3-8 19:51:00 | 显示全部楼层
你的可以将数据排列顺序改为a,d,b,e,c,f,g,h,i
然后每次判断如果c>f,那么就next_permuataion(a to f)
如果b>e就next_permutation(a to e)
如果a>d就next_permutation(a to d)
通过这些方法来跳跃过大量不合法过程。
唯一的问题是next_permutation可能返回false,这时需要将前面部分倒回去一个（逆序），然后整个大数列再next_permutation即可
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wayne
 楼主| 发表于 2011-3-8 20:27:28 | 显示全部楼层
好的，我待会试试
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