一道高等代数试题

tian27546

  希望math能写成详细过程看看 好吗

mathe

都应该很简单的东西，应该自己多好好想一想。ii)中数量矩阵是啥
(1)非零映射，取Y=I代入得到$0=(X,I)=\phi(X)$,得出$X=O$

loveyou

非零映射也不能从$\phi(X)=0$推出$X=0$。
1）如果$x\neq 0$，由$YX, XY\in \ker \phi$可知$\dim \ker \phi=n$与$\phi\neq 0$矛盾。
2）事实上可以证明$\phi(A)=c*trace(A)$, $c$为非零实数。由$\phi(XY-YX)=0$易知$\phi(E_{ij})=0, i\neq j$. consider the $2\times 2$ submatrix,  one can show $\phi(E_{ii})=\phi(E_{jj})$.  Then 2) follows easily.