三角几何难

raa · 发表于 2011-4-10 20:12:00

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本帖最后由 hujunhua 于 2011-8-30 16:34 编辑

已知：△ABC三条中线AD、BE和CF交于重心G，∠BGD =∠C.
求证：以三条中线为边长的三角形与△ABC相似。
中线相似三角形.jpg

mathematica · 发表于 2011-4-11 09:02:05

给个图形好吗?

raa · 发表于 2011-4-11 09:34:42

本帖最后由 hujunhua 于 2011-8-30 16:37 编辑

昨天考试没做出来，回家一想又想出来了，郁闷。

raa · 发表于 2011-4-21 17:55:11

本帖最后由 hujunhua 于 2011-8-30 16:40 编辑

是∠BGD等于∠C，打错了

northwolves · 发表于 2011-8-29 15:29:53

三条中线组成的三角形与△ABC相似?

三条中线交于一点的

wayne · 发表于 2011-8-29 15:36:32

5# northwolves

也许楼主是在说
三条中线长度构成的三角形。。。。

wayne · 发表于 2011-8-30 14:11:57

楼主的题目很乱

hujunhua · 发表于 2011-8-30 16:55:26

本帖最后由 hujunhua 于 2011-8-30 17:11 编辑

证明：作平行四边形AGBH，连结FH。显然H与中线CF同线。
∠GAH =∠BGD =∠C(同位角)
∵∠BGD =∠C，∴H在△ABC的外接圆上。∴∠AHC =∠B.
∴△GHA∽△ABC
显然，△AHG的各边长是△ABC各中线的2/3，故……
中线相似三角形.jpg

hujunhua · 发表于 2011-8-30 17:01:42

本帖最后由 hujunhua 于 2011-8-30 17:04 编辑

为了准确地作图，还费了一点心机。按相交弦定理，$AF^2=CF.FH={CF^2}/3$, 所以适当地旋转AB可使△ABC变成正△

wayne · 发表于 2011-8-30 17:27:23

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