三角几何难3

raa · 发表于 2011-4-11 10:06:00

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三角ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对应的边，h为BC边上的高，a=3h,求b/c+c/b的取值范围。

mathematica · 发表于 2011-4-12 08:37:25

当等腰三角形时取得最小值,这个直接用不等式就可以看出来了,不用几何关系就知道最小值是2
假设AD垂直于BC,
如果D在BC线段上,那么
当D与B点或者C点重合时取最大值,值为11/10^0.5约等于3.478505

mathematica · 发表于 2011-4-12 08:47:15

如果D可以在BC线段的延长线(或者反向延长线上),那么,当CD=(13^0.5-1)/2时
最大值是
(Sqrt[11 - 3 Sqrt[13]] + Sqrt[11 + 3 Sqrt[13]])/Sqrt[2]
约等于3.605551275

mathematica · 发表于 2011-4-12 08:52:40

上面是假设高等于1的情况下计算的结果

mathematica · 发表于 2011-4-12 08:54:46

这个问题相对来说还比较简单

mathematica · 发表于 2011-4-12 08:56:24

这个算不上难题,用微积分很容易解决!

raa · 发表于 2011-4-12 13:36:29

我还是中学生，给过程。

mathematica · 发表于 2011-4-12 14:09:09

由于三角形都具有相似性,因此假设AD=1,那么BC=3,因此我们只需要求解出这一种情况就可以了
假设BD=x,那么CD=3-x
然后AB=(x^2+1)^0.5,
AC=((3-x)^2+1)^0.5,带入
y(x)=b/c+c/b
然后求解出y的极值就可以了,很简单的

最后给你一个y随着x变化的函数的图像,你就很容易看出来了

mathematica · 发表于 2011-4-12 14:15:50

给一张我觉得没被扭曲的图形

hujunhua · 发表于 2011-4-25 00:53:58

易得最小值为2，b=c时取得。本题难点在于最大值。
由三角形面积公式得bc sinA=3hh
由余弦定理bb+cc=9hh+2bc cosA得
b/c+c/b=9hh/bc+2cosA=3sinA+2cosA=$\sqrt13$sin(A+φ), (φ=arctg 2/3), 0<A≤2arctg 3/2

所以最大值为$\sqrt13$, 在A+φ=直角时取得。

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