一个证明题

056254628

已知 $sin(A)*sin(A/2+B)=sin(B)*sin(B/2+A)$    其中$0<A<pi/2$,$0<B<pi/2$
求证：$A=B$

wayne

1# 056254628
$2(sin(A)+sin(A/2+B)) =cos(A/2-B)-cos({3A}/2+B)$
$2(sin(B)+sin(B/2+A)) =cos(B/2-A)-cos({3B}/2+A)$
====================================
$cos(A/2-B)- cos(B/2-A)= - 2sin({A+B}/4)sin({3(A-B)}/4)$  (1)
$cos({3A}/2+B)- cos({3B}/2+A)=  2sin({A+B}/4)sin({5(A+B)}/4)$  (2)

(1) 和 (2) 都可以提取公因子的， 提取之后的因子恒大于0 ，所以，，，，，

056254628

2# wayne
$cos({3A}/2+B)- cos({3B}/2+A)=  2sin({A+B}/4)sin({5(A+B)}/4)$  (2)  有误
应该是$cos({3A}/2+B)- cos({3B}/2+A)=  2sin({A-B}/4)sin({5(A+B)}/4)$  (2)

haizhou

能不能用几何证法

hujunhua

能！你先把已知条件转化成几何形式……

mathe

也就是角平分线相等，那么等腰三角形

056254628

mathe一针见血的看出了我的本意。
我本来的意思就是用代数的方法证明那个定律。
但是这个代数等式我绕来绕去，就是得不到A=B的结果。
像4楼、5楼想到用几何的方法来证这个代数证明题，那就和我的本意相背了。
不知大家有没有方法直接用代数的方法来证明A=B。
wayne的思路就是我所寻求的。2楼的两个余弦的差倒是有公因式$sin((A-B)/4)$可以提取，但提取后呢？

wayne

7# 056254628

haizhou

设a=A/2，b=B/2，c=(A+B)/2

hujunhua

mathe一针见血的看出了我的本意。
我本来的意思就是用代数的方法证明那个定律。
...
056254628 发表于 2011-5-9 22:43

准确地说，你想用的是三角方法。这个问题的代数方法是用三角形的角平分线长公式。
Lemus-Steiner定理据说有60多种不同的证法，其中包括三角法和代数法。你可以搜索一下“对角线相等”或者“Lemus定理”，会得到不少资料。
各种证法可以按下表分为10类

	直接法	反证法	同一法
三角法	1	2	---
代数法	3	4	---
几何法	5	6	7
综合法*	8	9	10

*综合法即混合运用三角、代数和几何方法，以图得到最简明的过程和脉络。
8楼的分解结果已经可以得出A=B，可以作为上表中第1种方法的代表。

我搜到过7种证法，自己也搞出过一种几何证法，但不知道是不是在那60多种里面。