[讨论] 光子之约

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　　据说有个教堂（啥名字忘了），站在里面的某个特殊地点能够十分清晰的听到牧师（或者神甫）的讲话。原来教堂内有椭圆弧的壁（是穹顶还是墙壁也记得了），牧师讲话的地方正是椭圆弧的一个焦点，而那个能特别清晰地听到牧师话音的地方是椭圆弧的另一个焦点。

为什么椭圆弧具有这种效果，高中生会告诉你：因为椭圆弧的光学（反射）性质。椭圆的那两个定点叫做焦点，正是来源于这个性质（光线会聚点叫做焦点，则是因为会聚的太阳光能把东西烤焦）。

　　不过，高中生回答的并不完全。为了听清楚牧师的话音，椭圆弧仅有反射聚焦性质是不够的，还必须具有波程相等的性质，即从牧师处（焦点$1$）发出的任意方向的声波碰到椭圆壁反射后再到达焦点$2$处时走过的距离都相等。只有这样，听者听到的才不会是重音（一连串的回声）。“碰巧”的是，椭圆刚好同时具备这两个性质——这才成全了那个教堂的建筑设计师。也许你对这种巧合不以为奇，无动于衷，但是那位建筑师却感天念地，顶礼膜拜，因为他深信这是自己向上帝祈祷的结果，是上帝对虔诚的信徒的眷顾。
　　上帝的美妙安排，一定有简明的数学背景。
　　椭圆作为“平面上到两定点的距离之和相等的点的轨迹”，其代数方程

$\rho_1+\ rho_2=C$

（$\rho_1$和$\rho_2$是椭圆上任一点到两焦点的距离，$C$是一个正常数）
表达了椭圆的等波程性，但从中我们完全看不出反射聚焦的性质。
　　当我们讨论一般椭圆的性质时，$C$作为一个任意常数，它的具体值并不重要，所以可以消掉它——使用微分方程可以做到这一点。将上式两边微分可得

$\grad\rho_1\cdot d\vec{s}+\grad\rho_2\cdot d\vec{s}=0$

　　梯度$\grad\rho$有一个特殊的几何解释：如果动点$P(x,y)$到定点$A$的距离为$\rho(x,y)$，那么$\grad\rho$就是$AP$方向的单位向量。因此椭圆的微分方程恰好表达了它的反射聚焦性质。
　　对于一个熟悉微分方程解结构的人来说，椭圆的微分方程可算是同时反映了反射聚焦和等波程的特性，两者本是合二为一、密不可分的。上帝的秘密原来如此。
　　圆也是一个简单的聚焦镜，从圆心发出的光线会重新会聚于圆心。作为“到定点的距离等于定长的点的轨迹”，圆的代数方程

$\rho=C$

表达了等波程性，相应的微分方程

$\grad\rho\cdot d \vec{s}=0$

则表明了反射聚焦性。
　　仿佛，从一个点光源同时发出的各个方向的光子有一种约定：今后若有机会经过同一个地点，一定要同时达到，再次聚首。
　　光子之约，诚可信乎？
　　让我们再来看2个如约的例子。
　　图1为两个同轴的抛物面镜。从焦点$F_1$发出的光线先后经两抛物面镜反射会聚于$F_2$。光程恒等于两准线的距离。

图1

　　图2为1个椭圆与一个双曲线正对放置。$F_1$和$F_3$是双曲线的焦点，$F_2$和$F_3$是椭圆的焦点。从$F_1$发出的光线先后经双曲线和椭圆反射后会聚于$F_2$，光程恒为椭圆长轴与双曲线实轴之差。
　　此例中双曲线退化为直线时是比较简单的情形（$F_1$与$F_3$关于直线对称）。

图2

　　一个容易想到的违约例子是图3所示的不规则齿轮，从圆心发出的光线从齿面上反射回来首次聚焦于圆心的时间，各个扇区彼此不同：

图3

　　图3的违约是因为反射曲线是“拼凑”的。我们不讨论这种“拼凑”的情况（但是可以讨论“拼凑”的定义）。

图4

　　图4所示为一段圆弧$C$和它的一条校正曲线$L$，从$F_1$发出的光线先后经$C$和$L$反射后聚焦于$F_2$。（$L$可以看作单向镜，即从左侧射到$L$上的光线会完全透过$L$射到$C$上，而从右侧射到$L$上的光线会完全反射。）
　　请问，这种情况下光子仍然守约吗？类似这样的一般情况呢？
　　从一个点光源发出的扩散角为A的光束经过若干非拼凑曲线反射后聚焦了，光子之约仍然有效吗？
　　掺入折射呢？（掺入折射时光程以时间计，即同时就行）。甚至图5所示的极端情况下，光子之约仍然有效吗？