一个函数方程

Buffalo

函数满足$f(x)+f(1-x)=1$，$f(x/3)=f(x)/2$，且在$(0,1)$内单调增，$f(x)$能确定到什么程度？或者说根据以上条件能给出哪些函数值？

zeroieme

$f(x)+f(1-x)=1$
$f(1/2)=1/2$

$f(1/2)=f((3/2)/3)=f(3/2)/2=1/2$
$f(3/2)=1$

$f(-(1/2))=f(1-3/2)=1-f(3/2)=0=f(-(3/2)/3)=f(-(3/2))/2$
$f(-(3/2))=0$

$f(5/2)=f(1+3/2)=1-f(-3/2)=1$
$f(5/6)=f((5/2)/3)=f(5/2)/2=1/2$
$f(1/6)=1-f(5/6)=1/2$

$f(1/6)=f(1/2)=f(5/6)=1/2$
？？？？？？？？？

$f(1/6)=f((1/2)/3)=f(1/2)/2=1/4$

▄︻┻═┳一‥

2# zeroieme

f(x)关于(0.5,0.5)中心对称，且f过对称中心

▄︻┻═┳一‥

2# zeroieme


我晕

▄︻┻═┳一‥

2# zeroieme


也许f在1.5处未定义，所以f(1.5)=1就出错了

mathe

由单调性，那么对于任意(0,1)区间上点，函数左右极限都存在。而且f(0+),f(1-)都存在。
而由$f(1/2)=1/2,f(1/{2*3^k})=1/{2^{k+1}}$我们得到$f(0+)=0$,所以$f(1-)=1$
于是我们得到$f(1/3-)=1/2=f(1/2)$,由单调性，得到对于任意$1/3<=x<=1/2,f(x)=1/2$
于是余下就好办了，慢慢计算吧

mathe

结果唯一，也就是对于任意$x in (0,1)$,取它三进制表示，然后找到第一个数字1（如果存在，将这位后面所有数丢弃，但是保留着一位），然后将余下数字中2全部改成1，得到结果看成一个二进制数，就是f(x).
这个函数挺有意思，连续，但是几乎处处取值是有理数（而且二进制表示有限位）。当然同康托集也有关系，可以看成康托集上一个测度函数。如果将这个函数看成是一个概率分布函数，那么就正好是取值到康托集上的均匀分布。

wayne

6# mathe
此贴的分析好精彩啊。

wayne

f(2/3) =1-f(1/3)= 1/2
f(1/4)=1/3
f(3/4)=2/3
f(3/10)=2/5
。。。。。
$(1/3)^n<=x<=2*(1/3)^n$时， f(x)=(1/2)^n

wayne

mathe在7楼的帖子我来换一种方式解释：
对于给定的x，不停的 做如下三种操作：
2)  如果 0<x<1/3 ,则返回结果 f(3x)/2
1)  如果1/3<=x<=2/3 ，则返回结果 1/2
3)  如果 2/3<x<1 ，则返回结果 1-f(1-x)

直至迭代终止