平均值不等式大统一

plp626

设$a_1,a_2,... ,a_n,lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,r,varepsilon$ 均为正数,
且$lambda_1+lambda_2+...+lambda_n=1$
则有论断(未证明,欢迎给出反例，若正确欢迎给出简洁直观的严格证明)：

$1/{lambda_1*1/a_1+lambda_2*1/a_2+...+ lambda_n*1/a_n}<=$

$a_1^{lambda_1}*a_2^{lambda_2}*...*a_n^{lambda_n}<=$

$(lambda_1*a_1^r+lambda_2*a_2^r+...+lambda_n*a_n^r)^(1/r)<=$

$(lambda_1*a_1^(r+varepsilon)+lambda_2*a_2^(r+varepsilon)+...+lambda_n*a_n^(r+varepsilon))^(1/{r+varepsilon})$

简记为：
加权调和平均数<=加权几何平均数<=加权低次幂平均数<=加权高次幂平均数
（算术平均数可以看做权重相等的n个数的一次幂平均数）
【error *****************************************************

当0<r<1时，几何平均数与幂平均数存在交集，
记$D=DCM(lambda_1,lambda_2,...,lambda_n)$(即$lambda_1,lambda_2,...,lambda_n$的最小公分母)，
猜想：
加权调和平均数<=
加权低$1/D$次幂平均数<=加权几何平均数<=加权高$1/D$次幂平均数<=
加权低次幂平均数<=加权高次幂平均数

***************************************************** error】
取$n=2, lambda_1=lambda_2=0.5,r=0.5,1,varepsilon=1,2$便得到我们熟悉的不等式:

$2/{1/a_1+1/a_2}<= sqrt(a_1*a_2)<=({sqrt(a_1)+sqrt(a_2)}/2)^2<={a_1+a_2}/2<=root{2}{(a_1^2+a_2^2)/2}<=root{3}{(a_1^3+a_2^3)/2}$

另外，本人想把holder不等式(柯西不等式可看做它的特殊情形)闵可夫斯基不等式，契比雪夫不等式，詹森不等式，也大统一到上面的加权不等式中，那位能提供个思路，或者直接给出结果？
谢谢大家关注此贴，谢谢。

wayne

调和平均可以看成是n=-1的情况,几何平均可以看成是n=0的情况

http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html

plp626

2# wayne
mathwolrd真是数学宝库啊。

我开始发帖的时候是猜想，调和平均数<=几何平均数<=低次幂平均数<= 高次幂平均数
但是发现
$M_{p=1/3}(a,b) <= G(a,b) <= M_{p=1/2}(a,b)$即：

$({a^(1/3)+b^(1/3)}/2)^3<=sqrt(a*b)<=({a^(1/2)+b^(1/2)}/2)^2$

就修改了，现在才发现我原来当时这个计算是错误的（还没明白当时怎么回事）。

所以我又可以重新说：

加权调和平均数<=加权几何平均数<=加权低次幂平均数<= 加权高次幂平均数

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不过还是觉得$M_p(...)$归纳出了数学的内在美。

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本贴未结，还在研究中。。。

gxqcn

设 $x_i>=0(i=1,2,...,n)$，对应的权值 $p_i>0(i=1,2,...,n)$，
定义 $M_k=(\frac{\sum_{i=1}^{n}{p_i*x_i^k}}{\sum_{i=1}^{n}p_i})^(1//k)$，
若  $r<s$，则 $M_r<=M_s$
可用 Jensen不等式 证明。