李尚志教授《数学聊斋》之三 人挤成照片之维数变化

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数学聊斋之三 人挤成照片之维数变化
    有一次与几名中国学者和两名俄罗斯数学家一起吃饭。吃到后来照例问一个问题：吃什么主食？于是用英文问：“Rice or noodle ? ”（米饭还是面条？）谁知这两位俄国人听不懂“noodle” (面条) 这个词。几个中国人用手比划了好一会儿还是没能让他们懂。我急中生智说：“Rice is zero-dimensional, noodle is one-dimensional.”（米饭是零维的，面条是一维的。）不愧是数学家，两位马上就懂了。维数是数学上常用的概念，点的维数是0，线的维数是1，面的维数是2，立体的维数是3。说米饭是“零维的”，就是说它可以看成一个一个孤立的“点”组成的，说面条是“一维的”，就是说它是一条一条的线。依此类推，“飞饼”很薄，厚度可以忽略不计，可以认为是二维的；馒头自然就是三维的了。当然，严格说起来，米饭，面条，飞饼都是三维的。
说起维数，还有一件有趣的事：1969年我第一次路过重庆，那时的公共汽车非常拥挤。有人形容这是“把人挤成照片了”。人是三维的物体，被挤成二维的照片，虽然太夸张了一些，但将拥挤的程度形容得活灵活现。
    人是三维的物体，体积不为0。挤成二维的照片，体积就变成了0。行列式也是这样：三阶行列式表示平行六面体的有向体积，如果其中有某两行相等，就是说平行六面体的三条相邻的棱中有两条重合，平行六面体退化成平面图形，也就是被“挤成照片”了，体积变成0。类似地，二阶行列式表示平行四边形的有向面积，如果两行相等，“平行四边形”的相邻两边重合，平行四边形退化为一条线段，面积为0。一般地，n阶行列式可以想象成一个n维立体的n维体积，如果它有某两行相等，“n 维立体”退化为 n-1 维或者更低维数的图形，“n维体积”当然就等于0。