李尚志教授《数学聊斋》之四飞檐走壁之电影实现—微积分基本定理

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数学聊斋之四 飞檐走壁之电影实现—微积分基本定理
小时候看电影，看见电影中的人物轻轻一跳就上了房顶，觉得演这些人物的演员真是了不起。世界跳高记录也只有2米多一点，还不如这些演员跳得高。于是就想：如果这些演员到国际上参加跳高比赛，不就可以打破世界跳高纪录并且拿到世界冠军了吗？
后来知道了这些演员并不能从地上跳到房顶上，电影镜头可以通过特技来实现。比如说可以让演员从房顶往下跳到地面，将往下跳的过程用电影胶片拍下来，将拍得的胶片颠倒顺序由后往前放映，看到的效果就是从地面往上跳到房顶了，甚至可以从水中往上跳到跳板上。
数学中像这样“倒过来放映”的事情也不少。
比如，如果已经运动物体的路程对时间的函数关系s = s (t)，求导数就可以得到速度函数v = s’(t)，这比较容易。反过来，要由速度 v = v (t)，求路程 s=s(t)，就要做定积分，也就是要将所经过的时间划分成许许多多很短的时间间隔，在每一小段时间内将物体的运动近似地看成匀速运动求得一小段路程，将各段路程相加得到总路程的近似值，再让各时间间隔长度趋于0，求极限得到总路程的准确值。但是，这样太困难，就好像从地面跳到房顶那样困难。我们也可以化难为易，采用“从房顶往下跳”、再“倒过来放映”的方法，找到一个函数 F(t) 使得由它（通过求导数）得到的速度函数 v = F’(t) 正好等于预先已知的 v = f(t) ，这样就可以比较容易得到所需的 s = F(t)。这样的 F(t) 称为f(t) 的原函数。通过这样“倒过来放映”的方法求定积分，这就是微积分基本定理。
另一个例子是由数列的通项公式 a(n) 求前n项和 S(n)。比如，已知a(n)=n^2 求 S(n)，也就是求前n个正整数平方和公式。中学数学中将这个公式作为数学归纳法的证明的例子来讲。但这个公式很难想出来，就好像从地面跳到房顶上那么难。反过来，如果已知数列的前 n 项和的公式 S(n) 反过来求通项公式 a(n)，就很容易：a(1)=S(1)，a(n)=S(n)-S(n-1) (对 n=2,3,…)，比从房顶跳到地面还容易。能不能用“倒过来放映”的方法，设法找一个 S(n) 使它求出的通项 a(n)=S(n)-S(n-1) 正好等于已知的n^2 ? 容易发现，当 S(n) 是k次多项式时，S(n)-S(n-1) 是 k-1 次多项式。因此考虑三次多项式 S(n) = an^3+bn^2+cn ，很容易通过解方程求得待定系数 a,b,c，使 S(n)-S(n-1)=n^2，问题就迎刃而解了。