最“邪恶”的概率分布

KeyTo9_Fans

KeyTo9_Fans和KeyTo9玩一个游戏：

KeyTo9设计$m$枚硬币，

它们抛到正面朝上的概率分别是$p_1$、$p_2$、$p_3$、……、$p_m$。

每一枚硬币的价值$w_i$与它抛到正面朝上的概率成正比：$w_i=100*p_i$

KeyTo9_Fans要找出价值最高的那枚硬币。

假设KeyTo9_Fans选出的那枚硬币的价值是$w_k$，而价值最高的那枚硬币的价值是$w_{max}$

那么KeyTo9_Fans就要付$\Delta w=(w_{max}-w_k)$元给KeyTo9。

问题$1$：

KeyTo9_Fans用如下方法找价值最高的硬币：

每一枚硬币各抛$n$次，看哪枚硬币正面朝上的次数最多。

如果正面朝上次数最多的硬币不只一枚，则从中任取一枚。（假设正面朝上次数最多的硬币有$k$枚，那么每一枚被取到的概率均为$1/k$）

问$p_1$、$p_2$、$p_3$、……、$p_m$取何值时，$\Delta w$的期望值最大？并求出该$\Delta w$的期望值。

问题$2$：

KeyTo9_Fans总共可以抛$N$次硬币，每次都可以根据前面的结果决定下一次抛哪一枚硬币。

KeyTo9_Fans希望$\Delta w$的期望值尽可能小，而KeyTo9希望$\Delta w$的期望值尽可能大。

KeyTo9_Fans和KeyTo9都是绝顶聪明的。

求该游戏的纳什均衡点：KeyTo9会如何选取$p_1$、$p_2$、$p_3$、……、$p_m$的值以及KeyTo9_Fans抛硬币的最佳策略。

kfroger

~~~~晕啦~~