一个包络线问题的求解

数学星空

求出长为L的刚性直棒,始终保持两端分别紧贴两面(若两面墙形成$0< alpha<pi/2 $)墙时的包络线?

注:若两面墙垂直即$alpha=pi/2$,则有经典的结果: $x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3)$

数学星空

通过计算: (其中$theta$为直棒与水平方向的夹角)
可以得到参数方程$(x*sin(alpha)-y*cos(alpha))/sin(theta+alpha)+y/sin(theta)=L$ ........(1)
分别计算$x$和$y$的函数对参数$theta$求导得....
结果很复杂,似乎很难得到x,y的函数关系??
不知(1)是否正确?如何求出包络线?

数学星空

根据2楼(1),分别计算$x$和$y$对参数$theta$求导为0得到:
$x=L*(cos(theta)*sin(theta+alpha )^2-cos(theta+alpha )*sin(theta)^2*cos(alpha ))/sin(alpha )^2$   .....(2)
$y=-L*cos(theta+alpha)*sin(theta)^2/sin(alpha)$ .......(3)
现在剩下的问题是如何由(2),(3)消去$theta$得到x,y的函数表达式?

数学星空

经过复杂的计算得到:
$(y^6+3*x^4*y^2-y^2*L^4-11*y^4*L^2-2*x^4*L^2+41*x^2*y^2*L^2+x^2*L^4+x^6+3*x^2*y^4)*sin(alpha)^4$$-2*L^2*x*y*cos(alpha)*(-9*x^2+L^2+18*y^2)*sin(alpha)^3-L^2*(-8*y^4-$$2*L^2*x^2+L^4+x^4+20*x^2*y^2+12*L^2*y^2)*sin(alpha)^2-16*x*y*cos(alpha)*sin(alpha)*L^4+16*y^2*L^4=0$ ......(5)

注:若令$alpha=pi/2$ 化简(5)得到:$y^6+3*x^4*y^2+3*y^2*L^4-3*y^4*L^2-3*x^4*L^2+21*x^2*y^2*L^2+3*x^2*L^4+x^6+3*x^2*y^4-L^6=0$ ......(6)

hujunhua

我好几次遇到需要这条络曲线，都是直接用几何画板把它画出来。有时想过求解其方程，却懒得动手。今天试了一下用过的几何方法，所得参数方程如下：
$x/d=cos(theta)-sin(theta)sin(alpha-theta)cos(alpha-theta)$
$y/d=sin(theta)cos^2(alpha-theta)$
式中$d=Lcsc(alpha)$

兔妹妹兔八哥

提问：什么是包络？

mathe

曲线的所有切线就构成了其包络线

兔妹妹兔八哥

谢谢

数学星空

我们现在来证明  $x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3) $ ........(1)
等价于
$y^6+3*x^4*y^2+3*y^2*L^4-3*y^4*L^2-3*x^4*L^2+21*x^2*y^2*L^2+3*x^2*L^4+x^6+3*x^2*y^4-L^6=0$.....(6)
对于(1)式
$(x^(2/3)+y^(2/3))^3=L^2$
展开: $x^2+y^2+3*x^(2/3)*y^(2/3)*(x^(2/3)+y^(2/3))=L^2$
移项:$(3*x^(2/3)*y^(2/3)*L^(2/3))^3=(L^2-x^2-y^2)^3$    注: 此式的变形用到了(1)
展开:$27*x^2*y^2*L^2=L^6-x^6-y^6+3*L^2*(x^4+y^4)-3*L^4*(x^2+y^2)+6*x^2*y^2*L^2-3*x^2*y^2*(x^2+y^2)$
移项整理:即得(6)式

倪举鹏

谁算算椭圆在X轴上滚动的包络线