完全四点形的边长约束

数学星空

对凸四边形情形:
设$AB=x,BC=y,CD=u,DA=v,AC=z,BD=w$
根据海伦公式及$S_(ABC)+S_(ADC)=S_(ABD)+S_(BCD)$得到:
$z^2*v^4*u^4+2*x^2*y^2*v^2*z^2*u^2+2*x^2*y^2*v^2*w^2*u^2+2*x^2*z^2*v^2*w^2*u^2+y^2*v^4*w^2*u^2+y^2*z^4*w^2*u^2+$
$y^4*v^2*z^2*u^2-y^2*z^2*v^4*u^2-x^2*y^2*z^4*u^2-x^2*z^4*v^2*u^2-x^2*z^2*v^4*u^2-y^2*z^4*v^2*u^2+x^4*v^2*z^2*u^2-$
$x^4*y^2*z^2*u^2-x^2*y^4*z^2*u^2-x^4*v^2*w^2*u^2-x^2*v^4*w^2*u^2-x^2*v^2*w^4*u^2+x^4*y^2*w^2*u^2-x^2*y^2*w^4*u^2-$
$y^2*z^2*w^4*u^2-y^4*x^2*w^2*u^2-y^4*v^2*w^2*u^2-z^4*v^2*w^2*u^2-v^4*z^2*w^2*u^2+v^2*z^2*w^4*u^2-y^2*v^2*w^2*u^4-$
$z^2*v^2*w^2*u^4-y^2*v^2*z^2*u^4-x^2*y^2*w^2*u^4-y^2*z^2*w^2*u^4+x^2*y^2*z^2*u^4-x^2*v^2*z^2*u^4+x^2*v^2*w^2*u^4-$
$y^2*v^2*w^4*u^2-y^4*z^2*w^2*u^2+z^4*x^2*v^2*w^2+2*x^2*y^2*z^2*v^2*w^2+x^2*y^4*z^4-$
$y^2*z^4*x^2*v^2+y^4*x^2*v^2*w^2+2*y^2*z^2*x^2*w^2*u^2+2*y^2*z^2*v^2*w^2*u^2+z^2*x^2*y^2*v^4-z^2*x^2*v^4*w^2+$
$z^2*x^2*y^2*w^4-z^2*y^4*x^2*w^2+z^4*v^4*u^2+w^4*y^4*u^2+y^4*w^2*u^4+y^2*w^4*u^4+z^4*v^2*u^4-x^4*y^2*v^2*w^2-$
$x^2*y^2*v^4*w^2-x^4*z^2*v^2*y^2-x^4*z^2*v^2*w^2-x^4*z^2*w^2*y^2-z^4*x^2*w^2*y^2-x^2*z^2*v^2*w^4-$
$y^4*z^2*x^2*v^2+x^4*v^4*w^2+x^4*v^2*w^4+y^2*z^4*x^4+y^4*z^2*x^4+x^2*v^4*w^4-x^2*v^2*w^4*y^2=0$..........(1)

$x^2*u^4-x^2*y^2*u^2-x^2*z^2*u^2+x^4*u^2+z^2*v^2*u^2-x^2*v^2*u^2-x^2*w^2*u^2+w^2*y^2*u^2-$
$z^2*w^2*u^2-y^2*v^2*w^2-z^2*v^2*w^2-y^2*v^2*z^2-y^2*z^2*w^2+x^2*y^2*z^2+x^2*v^2*w^2-x^2*y^2*v^2+$
$y^4*v^2-y^2*v^2*u^2+z^2*w^4+y^2*v^4+z^4*w^2-x^2*w^2*z^2=0$............(2)

hujunhua

我也得到了上述方程，而且三角型的也是如此。因为在去根号有理化的过程中，两型是互补的。

hujunhua

也就是说，按7楼的最后那个公式，将海伦公式代入，就会得到f(u ,v, w, x, y, z), 这个公式就包括了两种构型。
我们惊异地发现f(...)可分解为一个6次式和一个10次式之积。这意味着什么呢？

数学星空

对凹四边形ABCD情形:
设$AB=x,BC=y,CD=u,DA=v,AC=z,BD=w$
根据海伦公式及$S_(ABC)=S_(ADC)+S_(ABD)+S_(BCD)$得到:

$z^2*v^4*u^4+2*x^2*y^2*v^2*z^2*u^2+2*x^2*y^2*v^2*w^2*u^2+2*x^2*z^2*v^2*w^2*u^2+y^2*v^4*w^2*u^2+y^2*z^4*w^2*u^2+$
$y^4*v^2*z^2*u^2-y^2*z^2*v^4*u^2-x^2*y^2*z^4*u^2-x^2*z^4*v^2*u^2-x^2*z^2*v^4*u^2-y^2*z^4*v^2*u^2+x^4*v^2*z^2*u^2-$
$x^4*y^2*z^2*u^2-x^2*y^4*z^2*u^2-x^4*v^2*w^2*u^2-x^2*v^4*w^2*u^2-x^2*v^2*w^4*u^2+x^4*y^2*w^2*u^2-x^2*y^2*w^4*u^2-$
$y^2*z^2*w^4*u^2-y^4*x^2*w^2*u^2-y^4*v^2*w^2*u^2-z^4*v^2*w^2*u^2-v^4*z^2*w^2*u^2+v^2*z^2*w^4*u^2-y^2*v^2*w^2*u^4-$
$z^2*v^2*w^2*u^4-y^2*v^2*z^2*u^4-x^2*y^2*w^2*u^4-y^2*z^2*w^2*u^4+x^2*y^2*z^2*u^4-x^2*v^2*z^2*u^4+x^2*v^2*w^2*u^4-$
$y^2*v^2*w^4*u^2-y^4*z^2*w^2*u^2+z^4*x^2*v^2*w^2+2*x^2*y^2*z^2*v^2*w^2+x^2*y^4*z^4-$
$y^2*z^4*x^2*v^2+y^4*x^2*v^2*w^2+2*y^2*z^2*x^2*w^2*u^2+2*y^2*z^2*v^2*w^2*u^2+z^2*x^2*y^2*v^4-z^2*x^2*v^4*w^2+$
$z^2*x^2*y^2*w^4-z^2*y^4*x^2*w^2+z^4*v^4*u^2+w^4*y^4*u^2+y^4*w^2*u^4+y^2*w^4*u^4+z^4*v^2*u^4-x^4*y^2*v^2*w^2-$
$x^2*y^2*v^4*w^2-x^4*z^2*v^2*y^2-x^4*z^2*v^2*w^2-x^4*z^2*w^2*y^2-z^4*x^2*w^2*y^2-x^2*z^2*v^2*w^4-$
$y^4*z^2*x^2*v^2+x^4*v^4*w^2+x^4*v^2*w^4+y^2*z^4*x^4+y^4*z^2*x^4+x^2*v^4*w^4-x^2*v^2*w^4*y^2=0$........(3)


$x^2*u^4-x^2*y^2*u^2-x^2*z^2*u^2+x^4*u^2+z^2*v^2*u^2-x^2*v^2*u^2-x^2*w^2*u^2+w^2*y^2*u^2-z^2*w^2*u^2-$
$y^2*v^2*w^2-z^2*v^2*w^2-y^2*v^2*z^2-y^2*z^2*w^2+x^2*y^2*z^2+x^2*v^2*w^2-x^2*y^2*v^2+y^4*v^2-y^2*v^2*u^2+$
$z^2*w^4+y^2*v^4+z^4*w^2-x^2*w^2*z^2=0$.......(4)

数学星空

通过计算结果比较不难得到$(1)=(3),(2)=(4)$即可以得到结论:
对于任意四边形ABCD(不论凸凹),令$AB=x,BC=y,CD=u,DA=v,AC=z,BD=w$
则有关系式$(1)$  或者 $(2)$ 成立

hujunhua

公式的长度在吾意料之中，但系数之简洁却出乎意料之外。即使不分解，系数也不超过5.  在得到7楼最后的8次多项式时，曾经预计最终多项式的系数会不简单。

7楼最后的8次多项式，将次数减半成4次多项式后不可分解。将海伦公式代入后，却可以分解了。令人迷惑。

hujunhua

公式应该可以用行列式写成一种比较简洁易记的结果，怎么得到行列式呢？

hujunhua

这个多项式应该与四面体的体积公式有关。设四面体的六条棱长为u, v, w, x, y, z, 四面体体积为V(u, v, w, x, y, z)。完全四点形可以视为可嵌入平面的四面体，显然，完全四点形的边长约束条件等价四面体可嵌入平面的边长约束条件，即V(u, v, w, x, y, z)=0

受此启发，搜索了一下“四面体体积公式”，果然找到四面体的 6 棱长体积公式，称为Euler公式，链结中的行列式展开乘以4即为11楼的(2)式。那么11楼的（1）式是可以除掉的吗？

hujunhua

感觉楼上的行列对称性不够高，应该还可以变形。果然找到了更对称的形式
http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html

wayne