一道级数求和的名题

wayne

这个级数是由一个名人提出来的，结果也是可以表达的。

liangbch

看着怎么这么眼熟呢？莫非和斯特林公式有关？

数学星空

利用MAPLE软件我们可以得到:
$sqrt(2*pi*k)*(k^k/(k!*e^k))=$

$1-1/(12*k)+1/(288*k^2)+139/(51840*k^3)-571/(2488320*k^4)-163879/(209018880*k^5)+5246819/(75246796800*k^6)+534703531/(902961561600*k^7)-$

$4483131259/(86684309913600*k^8)-432261921612371/(514904800886784000*k^9)+6232523202521089/(86504006548979712000*k^10)+$

$25834629665134204969/(13494625021640835072000*k^11)-1579029138854919086429/(9716130015581401251840000*k^12)-$

$746590869962651602203151/(116593560186976815022080000*k^13)+1511513601028097903631961/(2798245444487443560529920000*k^14)+$

$8849272268392873147705987190261/(299692087104605205332754432000000*k^15)-$

$142801712490607530608130701097701/(57540880724084199423888850944000000*k^16)-$

$2355444393109967510921431436000087153/(13119320805091197468646658015232000000*k^17)+$

$2346608607351903737647919577082115121863/(155857531164483425927522297220956160000000*k^18)+$

$2603072187220373277150999431416562396331667/(1870290373973801111130267566651473920000000*k^19)+$

$sqrt(2*k)*O(1/k^(41/2))*sqrt(pi)$

数学星空

$f(n)=sum_{k=1}^{n}(k^k/(k!*e^k)-1/sqrt(2*pi*k))$

$f(100)=-0.07743796521$

$f(1000)=-0.08196745116$

$f(10000)=-0.08340474356$

$f(15000)=-0.08352709968$

wayne

its's Knuth's Series
http://mathworld.wolfram.com/KnuthsSeries.html

? -2/3-zeta(1/2)/sqrt(2*Pi)
%1 = -0.084069508727655996461489502479035511937572796468011961842972724600135979
?

wayne

这题据说是先得出数值答案，然后才找到准确值的。
证明过程我还没见到

yinhow

化简为以下两个难题：
$F(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{k^kx^k}{k!e^k}$
$G(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{\sqrt{k}}$
$\lim_{x\rightarrow 1}F(x)=\frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}-\frac{2}{3}$
$\lim_{x\rightarrow 1}G(x)=\sqrt{\frac{\pi}{1-x}}+\zeta(1/2)$

creasson

这个似乎可以这样做，但是算到后面的时候我不知道哪儿出错了

wayne

呃，不懂

creasson

7# yinhow

终于得知F（x)是Lambert W Function.