"天圆地方"的函数求解

数学星空 · 发表于 2012-3-25 09:30:48

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在工程领域,我们对:"天圆地方"的概念很熟悉,尤其在风道设计,主机排气管出口设计均会遇到天圆地方...
方一圆类接头常用于方形管道与圆形管道之间的过渡转接,俗称“天圆地方”。
现在的问题是求解'天圆地方'的函数表达?(设上端圆半径为$r$,下端正方形的边长为$a$)

数学星空 · 发表于 2012-3-25 09:33:09

yinhow · 发表于 2012-3-25 11:55:21

做两个方形和圆形的线圈，浸在肥皂水中，再小心拉出来。这个曲面满足天圆地方，数学上就是极小曲面。

hujunhua · 发表于 2012-3-25 15:18:35

天圆地方是钣金产品，一般来说是可展直纹曲面，所以不会是极小曲面。
下图是天圆地方的一个可能曲面，由4个三角形面和4个斜圆柱面组成，图中画出了直纹线。

hujunhua · 发表于 2012-3-25 15:29:39

上述“天圆地方”在三角形面与斜圆柱面的接线处不是平滑过渡的，有钣金折痕。

hujunhua · 发表于 2012-3-25 15:49:45

像这样缝合起来的直纹可展曲面可以有无穷多，如下图。图中凡是倚“地方”为底边的三角形都是平面三角形，凡是倚“天圆”为底边的曲边三角形都是斜圆柱面。
天圆地方2.png

hujunhua · 发表于 2012-3-25 16:13:41

当圆周和正方形的周长的分段数→∞，最长的小段→0时，就得到一种极限天圆地方。但这种极限天圆地方却不是唯一的，取决于分段的方式。

hujunhua · 发表于 2012-3-27 08:59:07

不能取极限！极限天圆地方不一定再是可展曲面。

数学星空 · 发表于 2012-3-27 21:07:04

在数学上此类问题被称为"曲面拼接问题"
对于两次曲面拼接问题已有了一般的答案,但表达式及求解相当困难
对于'天圆地方'的数学解,我暂时未查到...

liexi20101117 · 发表于 2012-3-27 21:42:12

看了版主的问题，真是感觉数学真的是没有尽头且越走越难的学科呀，多少个世纪以来还未解决的问题点是多的不得了，期待第四次数学危机的到来与成果

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[讨论] "天圆地方"的函数求解