求证：以长轴端点A为一个已知顶点的椭圆内接正三角形唯一。

hujunhua · 发表于 2012-4-16 02:32:27

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并证明：将正三角形换成任意形状的等腰三角形（顶角在长轴端点），命题仍成立。

mathe · 发表于 2012-4-16 07:45:50

这个是因为椭圆上任意一点和A的连线长度随着这个点的移动而单调变化，同样，连线的斜率也单调变化。

hujunhua · 发表于 2012-4-16 08:32:17

通过对称性、圆与椭圆的交点数可以作一个直观的证明（反证法）。
如图（这个图实际上是用于证明内接等腰直角三角形的，借来一用），假定存在一个非对称于长轴的正三角形ABC，作B、C关于长轴AD的对称点B'、C'。B、C、B'、C'都在以A为圆心以正三角形边长为半径的圆A上。由于圆A与椭圆最多相交于4点，所以B、C、B'、C'恰是它们的全部交点，两者相互分割为4段，交替出入，易知圆的两段蓝色弧在椭圆外部，绿色弧在椭圆内部。因此长轴AD小于圆A的半径，即正三角形边长。这样一来，AB、BC和CA是椭圆的比长轴还要长的3条弦，这不可能。
无标题.png

这个证明所用的事实比mathe在楼上用到的更基本吗？

hujunhua · 发表于 2012-4-16 14:17:49

上述证明对于任意等腰三角形仍然合适，只是最后一句话中要将底边BC去掉。

hujunhua · 发表于 2012-4-16 14:21:47

这就反过来证明了2#所说的单调性。

plp626 · 发表于 2012-6-20 16:53:01

我觉得2#的思路更具数学本质。。。

hujunhua · 发表于 2012-6-20 20:15:37

也就是说，2#的所述事实基本上是原命题的等价描述。

邵收韦 · 发表于 2012-10-8 09:37:02

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[讨论] 求证：以长轴端点A为一个已知顶点的椭圆内接正三角形唯一。

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