请问高手这个函数的上限和下限函数

although

已知函数 $f(x)=\sum_{i=0}^{m} C_m^i \frac{(-1)^ip^i}{x+i}$，其中 $x>0,\quad 0<p<1$
请问一下有什么函数g(x)和h(x)，满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$呢？
先谢谢大家了

shshsh_0510

$f(x)=\sum_{i=0}^{m} C_m^i \frac{(-1)^ip^i}{x+i}$
用 maple 的simplify(f(x))得到：
$f(x)=g(x)/x(x+m+1)$
$g(x)=g1(x)+g2(x)$
$g1(x)=(x+m+1)*H([x, -m], [1+x], p)$
$g2(x)=C(m, m+1)*(-p)^(m+1)*H([1, 1, m+x+1], [m+2, x+2+m], p)*x$

H为超几何函数，关于超几何有的有close形式的公式，有的没有。对于判断有没有的问题是kunth的一个50分的问题，不过已经被解决，可以参考这个：
http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html

although

原帖由 shshsh_0510 于 2008-5-8 09:35 发表
$f(x)=\sum_{i=0}^{m} C_m^i \frac{(-1)^ip^i}{x+i}$
用 maple 的simplify(f(x))得到：
$f(x)=g(x)/x(x+m+1)$
$g(x)=g1(x)+g2(x)$
$g1(x)=(x+m+1)*H([x, -m], [1+x], p)$
$g2(x)=C(m, m+1)*(-p)^(m+1)*H$ ...

多谢 shshsh_0510
不过我才疏学浅
还没完全看懂你的回复
正在看你介绍的书
感觉很有用
看完了再不懂的话再来问

mathe

如果我们$p^xf(x)$看成p的函数$g(p,x)$，计算这个函数关于p的导数，得到结果为$p^{x-1}(1-p)^n>0$
所以我们知道$p^xf(x)$是p的单调函数。所以我们任意取$0<=p_1<p<p_2<=1$,那么$g(p_1,x)<=g(p,x)<=g(p_2,x)$
特别的$0=g(0,x)<=g(p,x)<=g(1,x)$,或者$0<=f(x)<=p^{-x}g(1,x)=p^{-x} \sum_{i=0}^m C_m^i{(-1)^i}/{x+i}$