格点正方形，可否发现一个新数列？

hujunhua

一个$nxxn$的方格点阵，大大小小的正方形可以数出多少个来？

若要把这些正方形破坏得一个不剩，至少需要从中抹去多少个点？

geslon

n=5，我就乱了脑子了。

gxqcn

这道题有点意思。。。

wayne

1# hujunhua
第一问简单。
1^2+2^2+3^2+....+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
第二问需要再想想
n=1    1
n=2    2
n=3    4
n=4   8(也许有更小的)

wayne

2# geslon
我第四个就乱了。
能否给出图形？

hujunhua

4# wayne
不正确。
别忽视了斜置正方形。


另外，wayne的 n 是边长，我说的 n 原是边上的点数。 后面就依wayne的吧。不知道2#的 5 是点数还是边长。
n=1, 1, 1
n=2, 6, 3
n=3, 20, ?
n=4,50, ?

wayne

6# hujunhua
额， 还考虑斜置，凭手算的话，几乎不可能的了

hujunhua

第1问是${n(n+1)^2(n+2)}/12$

hujunhua

搜到了
A002415

wayne

{1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540}
http://oeis.org/A002415
一个很笨的但是有效的程序：

1. 
   
2. Table[Length@
   
3.   Select[Select[
   
4.     Select[Sort /@
   
5.       Subsets[Flatten[Table[{i, j}, {i, 0, n}, {j, 0, n}],
   
6.         1], {4}], #[[2]] + #[[3]] == #[[1]] + #[[4]] &],
   
7.     Norm[{#[[1]] - #[[2]]}] == Norm[{#[[2]] - #[[4]]}] &],
   
8.    Dot[#[[1]] - #[[3]], #[[2]] - #[[1]]] == 0 &], {n, 6}]
   
9. 
   

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