求二球时间和距离关系的函数式

yyy_fcz

同事们在办公室讨论的一道题，不会做，到这里来请教高手。
两个球M1和M2相距L，在没有任何外力的情况下会因为万有引力相互靠拢，最后碰撞，再弹开，再慢慢减速，在相互靠拢。
（1）求第一次碰撞前的时间t与两球距离l的函数式。
（2）求任意时刻t与两球距离的函数式。

wayne

1# yyy_fcz
球多大？
这跟数量级有关的。
2个公大象如果没有外力的话，是不会吸引的。

yyy_fcz

就M1和M2吧，在一个没有人任何外力的空间中，只有两个球的吸引力。应该是一个最简单的二体问题吧。

wayne

3# yyy_fcz
碰撞有能量损失吗？
另外，球的半径呢？

yyy_fcz

假设是正碰吧，没有能量损失。球的半径分别为r1和r2，r1+r2＜l。

wayne

5# yyy_fcz
同事，办公室，呃，楼主参加工作了怎么还讨论物理题啊？

wayne

微分方程：
${dl}/\sqrt{1/l-1/L} =+-\sqrt(2G(M_1+M_2))dt$
左边的积分貌似挺复杂的。
用软件算了一下，是：
$-\frac{L^{\frac{3}{2}}}{2}ArcTan\frac{L-2 l}{2 \sqrt{(L-l)l}}-\sqrt{Ll(L-l)} $

yyy_fcz

呵呵，谢谢！有详细的推导过程么？
办公室比较清闲的时候，大家都爱讨论些数学和物理话题。

wayne

8# yyy_fcz
设在第一次碰撞之前，两球分别经过的距离为x,y,相距l.
则  x+y= L-l    (1)
根据动量守恒得到：M1*v1=M2*v2   积分得到   M1*x=M2*y.  (2)
解得
$x= {M2*(L-l)}/{M1+M2}$
$y= {M1*(L-l)}/{M1+M2}$
由牛顿第二定理得到  $M1* x''(t) = {GM1*M2}/l^2$
即：   $-{M1*M2* l''(t) }/{M1+M2}= {GM1*M2}/l^2$
即得微分方程： $l''(t) =-{G(M1+M2)}/l^2$
分离变量，继而得到楼上的形式

yyy_fcz

谢谢！