不定方程6x+15y+21z+9t=30的整数解解法应如何解?

xxxxxxx

不定方程6x+15y+21z+9t=30的整数解解法应如何解?
我做的解法有什么错误?
6x+15y+21z+9t=30
约简成
2x+5y+7z+3t=10

设
2x+5y=v
v+7z=r
r+3t=10

5-2x2,故x= -2,y=1是2x+5y=1的其中一组解,x= -2v,y=v是2x+5y=v的其中一组解
x= -2v+5k
y=v-2k

v= -6r,z=r是v+7z=r的其中一组解
v= -6r+7q
z=r-q

r= -20,t=10是r+3t=10的其中一组解
r= -20+3e
t=10-e

把r= -20+3e代入v= -6r+7q,z=r-q
v= 120-18e+7q,z= -20+3e-q

把v= 120-18e+7q代入x= -2v+5k,y=v-2k
x= -240+36e-14q+5k,y=120-18e+7q-2k

x= -240+36e-14q+5k
y=120-18e+7q-2k
z= -20+3e-q
t=10-e

e,q,k可以是任意整数

但是书中的解法较不同


2x+5y=v
v+7z=r
r+3t=10

x=3v+5k
y= -v-2k

v=-6r+7q
z=r-q

r=1+3e
t=3-e

把r=1+3e代入v= -6r+7q,z=r-q
v= -6-18e+7q
z=1+3e-q

把v= -6-18e+7q代入x=3v+5k,y= -v-2k
x=-18-54e+21q+5k
y=6+18e-7q-2k

x=-18-54e+21q+5k
y=6+18e-7q-2k
z=1+3e-q
t=3-e

e,q,k可以是任意整数

到底在何处出错,请指出来

    2012-06-23 10:17:57 补充

    两边同除以3得：2x+5y+7z+3w=10
    w=(10-2x-5y-7z)/3=3-x-2y-2z+(1+x+y-z)/3
    则有：1+x+y-z=3t
    所以整数解为：（其中a,b,t为任意整数）
    x=a
    y=b
    z=1+a+b-3t
    w=(10-2a-5b-7-7a-7b+21t)/3=1-3a-4b+7t
    若求非负数解，则有：a>=0.b>=0, ,(3a+4b-1)/7=<=(1+a+b)/3
    共有5组解：
    a=0, b=0, t=0, z=1, w=1
    a=0,b=2, t=1, z=0, w=0
    a=2,b=0, t=1, z=0, w=2
    a=1,b=1, t=1, z=0

    可否解释上述的做法是如何做?请详尽

    但是貌似下面两个写法较精简,如何解才是最好?

hujunhua

你的解也没有错。方程的解本来就可以写成多种形式，但实际上是等价的。这是由这个不定方程的解的结构决定的。
不定方程 2x+5y+7z+3w=10 的解记为X=(x,y,z,w), 它的通解可以写成
$ X=X_0+hat X$
其中$X_0$是对应的齐次方程2x+5y+7z+3w=0的通解，$hat X$是原方程的随便一个特解。
齐次方程2x+5y+7z+3w=0的通解怎么求呢？随便找它的3个不相关的特解，$X_1,X_2,X_3$, 那么$X_0=aX_1+bX_2+cX_3$
比如，可以取$X_1=(5,-2,0,0),X_2=(3,0,0,-2),X_3=(7,0,-2,0), hat X=(0,2,0,0)$,得原方程的通解
$X=a(5,-2,0,0)+b(3,0,0,-2)+c(7,0,-2,0)+(0,2,0,0)$

hujunhua

既然这些特解都是随便的，那么方程的解的形式当然也就不唯一啦。

wayne

1# xxxxxxx
楼主有空看看  线性代数 的内容

tangram

1# xxxxxxx
你的答案就是对的，取的特解不一样，表达式就不一样。只要代入原方程组验证通过就可以。