关于一个公式中两个求和交换位置的问题

flywithyu

也许大虾门觉得很简单吧，但是这个问题确实困扰了我好久了
想问下，这个公式交换求和是否成立？如果成立，根据什么定理？
如果不成立，应该怎么修改？需要注意的是，我需要把I(y)^j拿到第1个求和符号中，使得第二个求和与I(y)无关

补充说明：1、I(x)I(y)都是0-1的实数；2、ci是实数
希望能有大侠尽快帮我解决问题，不胜感激啊！！！

sunwukong

$\sum_{i=0}^{n}{g(i)\sum_{j=0}^{i}{h(j)f(i,j)}}$
$=\sum_{i=0}^{n}{\sum_{j=0}^{i}{g(i)h(j)f(i,j)}}$

楼主的例子，
$g(i)=c_i$
$h(j)=I(y)^j$
$f(i,j)=-((i),(j))(-I(x))^{i-j}$


由此得，$i$,$j$的范围
$0<=j<=i<=n$

则
$\sum_{i=0}^{n}{\sum_{j=0}^{i}{g(i)h(j)f(i,j)}}$
$=\sum_{j=0}^{n}{\sum_{i=j}^{n}{g(i)h(j)f(i,j)}}$
$=\sum_{j=0}^{n}{h(j)\sum_{i=j}^{n}{g(i)f(i,j)}}$
$=\sum_{j=0}^{n}{I(y)^j\sum_{i=j}^{n}{c_i(-((i),(j))(-I(x))^{i-j})}}$
$=\sum_{j=0}^{n}{I(y)^j\sum_{i=j}^{n}{(-1)^{i-j+1}c_i(((i),(j))(I(x))^{i-j})}}$

$i$的范围是$j<=i<=n$，即从$j$到$n$，如果想把$i$的范围变成从$0$到$j$,则作替换
$i'=n=i$，$j'=n=j$，由此得
$0<=i'<=j'<=n$，$i=n=i'$，$j=n-j'$
所以
$\sum_{i=0}^{n}{\sum_{j=0}^{i}{g(i)h(j)f(i,j)}}$
$=\sum_{j'=0}^{n}{\sum_{i'=0}^{j'}{g(n-i')h(n-j')f(n-i',n-j')}}$
$=\sum_{j'=0}^{n}{h(n-j')\sum_{i'=0}^{j'}{g(n-i')f(n-i',n-j')}}$
$=\sum_{j'=0}^{n}{I(y)^{n-j'}\sum_{i'=0}^{j'}{c_{n-i'}(-((n-i'),(n-j'))(-I(x))^{(n-i')-(n-j')})}}$
$=\sum_{j'=0}^{n}{I(y)^{n-j'}\sum_{i'=0}^{j'}{(-1)^{j'-i'+1}c_{n-i'}(((n-i'),(j'-i'))(I(x))^{j'-i'})}}$
其中用到了组合数的一个性质$((i),(j))=((i),(i-j))$
然后再做替换 $i'->i$，$j'->j$，则式子变为
$\sum_{j=0}^{n}{I(y)^{n-j}\sum_{i=0}^{j}{(-1)^{j-i+1}c_{n-i}(((n-i),(j-i))(I(x))^{j-i})}}$

flywithyu

非常感谢！！！！
写的非常详细！！！！！
学习了

mathematica

2# sunwukong


孙悟空，你的latex用得疼好的呀！！！！！！！！！！