一道积分题

卓远 · 发表于 2008-5-15 17:51:00

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$\int_{0}^{pi}\frac{1}{2+cosx}dx$

卓远 · 发表于 2008-5-15 17:54:06

第一次用这个,上面写错了.这题是裴礼文中的题目,我已思考了三年了.那位高手解决一下.
$\int_{0}^{pi}\frac{1}{2+cosx}dx$

mathe · 发表于 2008-5-15 17:58:37

使用万能公式替换，设$y=tg(x/2)$,那么显然问题可以转化为
$int_0^{+infty} {2dy}/{3+y^2}$
接下去应该不难了

mathe · 发表于 2008-5-15 18:13:11

结果应该是$sqrt(3)/3pi$

卓远 · 发表于 2008-5-15 19:01:33

并不是这个答案,我试过很多方法了,不过还没有用过你说的,现在很久没碰微积分了....

mathe · 发表于 2008-5-15 19:10:44

那是什么答案？也可能我那个步骤计算有些问题，还有答案不一定正确。不过三角函数相关的分式通常都可以使用万能公式解决的。

kofeffect · 发表于 2008-5-15 19:26:21

使用mathematica计算的答案是 $pi/sqrt[3]$

卓远 · 发表于 2008-5-15 21:15:01

问老师去嘛,大学这么好的资源不用?

mathe:
此话怎讲？这里基本没有人在大学里面

mathe · 发表于 2008-5-15 21:32:09

$pi/sqrt(3)$同我的结果相同

mathe · 发表于 2008-5-15 21:34:45

使用http://integrals.wolfram.com/ind ... 29&random=false计算不定积分可以得到:
$1/(2+cosx)$的不定积分为${2tan^{-1}(tan(x/2)/sqrt(3))}/sqrt(3)$

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