我有2个难题,欢迎各位帮忙解答

ahtf738903

1. 3x+2y+5xy-7z=0,此题的所有整数解能否表达成例如此题的答案形式:


解 2a+5b+7c+3d=10的所有整数解


a= -18-54g+21f+5e
b= 6+18g-7f-2e
c= 1+3g-f
d= 3-g


e、f、g可以是任意整数


如此题的所有整数解能表达成例如此题的答案形式,请详细说明解题方法等


2. 3x+4xy+7y=z,其中x、y、z为正整数


尽量不用电脑程式辅助,有什么方法能更快判决z为某正整数是否此题的解?

sunwukong

2. 3x+4xy+7y=z,其中x、y、z为正整数


尽量不用电脑程式辅助,有什么方法能更快判决z为某正整数是否此题的解?

当$x=-2$ 时，
$z=3x+4xy+7y=3x+(4x+7)y=-6-y$，

所以， 不管 z  要等于什么整数 a， 只要令 $x=-2$，$y=-6-a$，即
z 的值域为所有整数

sunwukong

看错题目，没注意到“ x、y、z 为正整数”的限制，少看了一个“正”字，3# 的解答是错误的。更正如下：

2. 3x+4xy+7y=z，其中 x、y、z  为正整数

尽量不用电脑程式辅助,有什么方法能更快判决 z 为某正整数是否此题的解?

因为 x，y 是正整数，所以

$z=3x+4xy+7z>=3+4+7=14$，所以，

当 $1<=z<=13$ 时,z 不是此题的解

$z=3x+7y+4xy$
$=4(xy+3/4x+7/4y)$
$=4[(x+7/4)(y+3/4)-21/16]$
$=1/4*[(4x+7)(4y+3)-21]$
所以：
$4z+21=[4(x+1)+3]*(4y+3)$

当 $z>=14$ 时，判断方法是：
令 $A=4z+21$，然后下面的两个方法，选一个做
（1）方法1：把 $A$ 分解因式，当 $A$ 能分解成两个 $4a+3$ 型式的数相乘，并且两个数都大于等于 7  时，$z$ 就是此题的解。
（2）方法2：用 $A$ 去逐个试除以下等差数列 7，11，15，19，23，…，当某个数能整除，且商也在此数列中时，$z$ 就是此题的解；当试除到某个数字，商小于或等于除数，也找不到能整除，或者能整除，但商不在数列中时，则 $z$ 不是此题的解。

例子：
(1) $z=47$，$A=4xx47+21=209$，分解 $209=11xx19$，而 11、19 都是 $4a+3$ 型的数，$11=4xx2+3$，$19=4xx4+3$，且都大于 7 ，所以 47 是此题的解。

(2) $z=46$，$A=4xx46+21=205$
    $205/7=29+2/7$
    $205/11=18+7/11$
    $205/15=13+10/15$，此时，商 13 已经 小于 15 了，所以 46 不是此题的解。

wayne

1# ahtf738903
按模7穷举解答之,即可. {x,y}有这么几组:
{7 c1, 7 c2},
{2 + 7 c1, 3 + 7 c2},
{3 + 7 c1, 4 + 7 c2},
{4 + 7 c1, 2 + 7 c2},
{5 + 7 c1, 1 + 7 c2},
{6 + 7 c1, 6 + 7 c2}