2012.11 寻找多项式

mathe

根据引理4和引理2可以得出对于满足如果对某个充分的的M,有对于一切0<=n<=Mf(n)都是整数的k次幂,
那么对于f(n)充分大的素因子q都有q是f^(k-1)(n)的素因子。
由此如果存在整系数因式d(x)使得d(x)|f(x),但是(d(x),f'(x))=1,根据引理3必然得出矛盾。
由此我们得出f(x)的所有根都是f^(k-1)(x)的根。也就是f(x)所有根的重数都至少是k次。
然后稍微处理就应该可以得出f(x)的所有根的重数都是k的倍数

mathe

由此我们得出对于本题中的P(x),对于充分大的整数t, P(x)+P(t^k-x)都是某个多项式的k次方,
也就是P(x)+P(t^k-x)=Q(t,x)^k,由多项式性质得出显然这是恒等式
将x=0代入，得到
P(t^k)=Q(t,0)^k-P(0)

Lwins_G

根据引理4和引理2可以得出对于满足如果对某个充分的的M,有对于一切0
mathe 发表于 2012-12-16 20:08

对的，除x=0外，其他根的重数必须要为k之倍数。

Lwins_G

Solution:
http://lwins.us/file/%5BNov%2020 ... thly%20Solution.pdf