将$n$个小球随机放进$n$个盒子里(1)

KeyTo9_Fans

如题，放法如下：

————————————————
对于每个小球，无论其它小球放在哪里，

它被放进任意一个盒子的概率都是$1/n$。
————————————————

于是一个盒子可能有多个小球，也可能没有小球。

我们将装球数最多的盒子所装的小球个数记为$m$，

$m$的均值记为$m_a$，方差记为$m_s$。

问题$1$：

给定$n=1,2,3,...$，求$m_a$和$m_s$的值分别是多少。

问题$2$：

求证：$\lim_{n->\infty}m_a/ln(n)=0$。

问题$3$：

求$\lim_{n->\infty}m_a/ln(n)*ln(ln(n))$等于多少？

wayne

问题1：
求方程 $\sum_{i=1}^{m} i*a_i=n$ (a_m>0) 的非负整数解

1. 1        {1}
   
2. 2        {1, 2}
   
3. 3        {1, 6, 3}
   
4. 4        {1, 18, 12, 4}
   
5. 5        {1, 50, 50, 20, 5}
   
6. 6        {1, 140, 195, 90, 30, 6}
   
7. 7        {1, 392, 735, 392, 147, 42, 7}
   
8. 8        {1, 1106, 2716, 1652, 672, 224, 56, 8}
   
9. 9        {1, 3138, 9912, 6804, 2970, 1080, 324, 72, 9}
   
10. 10        {1, 8952, 35850, 27600, 12825, 4950, 1650, 450, 90, 10}
    

复制代码

算得m_a:

1. 
   
2. 1        1
   
3. 2        5/3
   
4. 3        11/5
   
5. 4        89/35
   
6. 5        178/63
   
7. 6        706/231
   
8. 7        2797/858
   
9. 8        22129/6435
   
10. 9        43742/12155
    
11. 10        172870/46189
    
12. 11        1366223/352716
    
13. 12        2699500/676039
    
14. 13        762106/185725
    
15. 14        14059873/3343050
    
16. 15        83396903/19389690
    
17. 16        1319518817/300540195
    
18. 17        2610502618/583401555
    
19. 18        939297818/206253075
    
20. 19        81814263569/17672631900
    
21. 20        12461952164/2650894785
    

复制代码

是这个结果吗

KeyTo9_Fans

不是。

当$n=1$时，$m_a=1$。

当$n=2$时，$m_a=(1*2+2*2)/4=3/2$。

当$n=3$时，$m_a=(1*6+2*18+3*3)/27=17/9$

当$n=4$时，$m_a=(1*24+2*180+3*48+4*4)/256=17/8$

当$n=5$时，$m_a=(1*120+2*2100+3*800+4*100+5*5)/3125=1429/625$

……

将前$5$项拿去OEIS上查，发现OEIS还没有收录这个数列。

恭喜 数学研发论坛 即将再次向 OEIS 贡献新数列！

wayne

在OEIS上 找到数据了
http://oeis.org/A180281

wayne

3# KeyTo9_Fans
很不幸，我一时迷糊搞混淆了，一个是有区别，一个是无区别。
不过fans也很不幸，OEIS仍然有这数列
http://oeis.org/A019575
有了这个数列就足可以算出期望值和方差

KeyTo9_Fans

很好！问题$1$解决了。

接下来该解决问题$2$和问题$3$了。

wayne

6# KeyTo9_Fans
这个是解析分析，
得要得到m_a的显式表达了。

KeyTo9_Fans

问题$2$已经证出来了

接下来我们看看问题$3$的答案是多少

KeyTo9_Fans

问题$3$也做出来了，答案是$1$

接下来做做问题$4$吧

问题$4$：

给定$k=1,2,3,...$，求最小的$n$，使得$m_a>=k$。

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  发表于 2013-1-14 20:23  |  只看该作者                                                                      9.1 #
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$10#$ wayne

$m_a={\ln n}/{\ln \ln n}(1+o(1))$，所以

$\lim_{n->\infty}m_a/{\ln n}=0$，

$\lim_{n->\infty}m_a/{\ln n}*\ln \ln n=1$。
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wayne

9# KeyTo9_Fans
进展这么快，能否share一下，