求算一个函数的近似

zeroieme

假设Φ(x)是标准正态分布累积函数，Φ^-1(p)是Φ(x)的反函数。
现在令F(p)=Φ(Φ^-1(p)+1/3)，p在[0，1]之间。

我想求F(p)的近似G(p)，要保留G(0)=0、G(1)=1，以及G^-1(p)=1-G(1-p)，这3个特征。G^-1(p)是G(p)的反函数。

wayne

1# zeroieme
Φ^-1(G(p))= Φ^-1(p)+1/3
Φ^-1(0) =-Infinity , Φ^-1(1) =+Infinity

zeroieme

1# zeroieme
Φ^-1(G(p))= Φ^-1(p)+1/3
Φ^-1(0) =-Infinity , Φ^-1(1) =+Infinity
wayne 发表于 2013-2-6 17:03

虽然Φ^-1(0) =-∞ , Φ^-1(1) =+∞
但Φ(-∞)→0 ；Φ(+∞)→1
所以在p∈(0,1) 时 F(p)=Φ(Φ^-1(p)+1/3)，仍然F(p)∈(0,1) 。
但Φ与Φ^-1太复杂，想求初等函数G(P)≈F(p)，要以保持0、1点两值和反函数性质为约束条件。


因为也Φ^-1(0) =-∞ , Φ^-1(1) =+∞，所以我不懂怎么在0、1点展开。

zeroieme

自问自答
37112430751064099689480376243990803823731979792960505230687191343229169*p/(21335212646643863581245804938335079230267851090780045135281612729947919+15777218104420236108234571305655724593464128702180460095405578613281250*p)

云梦

F(p)=Φ(Φ-1(p)+1/3)，p在[0，1]之间:
当p=0时,Φ-1(p)=0.5
F(p)=Φ(Φ-1(p)+1/3)=Φ(5/6)=0.79767161903635697463146640028776....<>0

云梦

p=Φ-1(p)+1/3
p=0.6083472122795753775676840238228282359534278121303303555292848328......

云梦

5楼计算有误，删除。

补充：
若存在函数 F(p)=Φ(Φ-1(p)+1/3),p在[0，1]之间:
则必存在反函数F-1(p)=Φ-1(Φ-1(p)+1/3),
因此得： p=Φ-1(p)+1/3
p只有唯一值：
p=0.6083472122795753775676840238228282359534278121303303555292848328...
F(p)=0.7285213928590393474673348840200857347616109034511020950032216122...

zeroieme

7# 云梦

F(p)函数如图

云梦

曲线拟合：3^(1/3) Log[x + 1] + Sin[x*180 Degree]/19
虽然拟合的不是很好，但误差也并非不理想。更好的拟合可以用椭圆曲线,我虽然拟合出来了但没有解出该椭圆方程。
这条曲线是一个有倾斜角度椭圆的一条边。