[原创] 如何证明 相关搜索: 不等式

northwolves

20年前想到的问题,至今一直未解决.

假设实数$x in [0,pi]$,易知
$sin(x)>=0$
$sin(x)+1/2 sin(2x)=sin(x)(1+cos(x))>=0$
问题:

$\sum_{k=1}^n {sin(kx)}/k>=0$
即 $sin(x)+1/2 sin(2x)+1/3 sin(3x)+...+1/n sin(nx)>=0$ 是否成立?如何证明?

lyg_wangyushi

记函数$F(x)=sin(x)+1/2 sin(2x)+1/3 sin(3x)+.....+1/n sin(nx)$
则$F(x)$的导数$G(x)=cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)$,这个式子是有求和公式的，推倒如下，
$cos(x/2)*G(X)=cos(x/2)*cos(x)+cos(x/2)*cos(2x)+...+cos(x/2)*cos(nx)$，所有的式子用和差化积公式
$cos(x/2)*G(x)=1/2*(cos(x/2)-cos(3/2 x)+cos(3/2 x)-cos(5/2 x)+....+cos((n-1/2)x)-cos((n+1/2)x))=(cos(x/2)-cos((n+1/2)x))/2$
$G(x)=(cos(x/2)-cos((n+1/2)x))/{2cos(x/2)}$, 令$G(x)=0$求得原函数的极值，看其极小值是否大于零即可。

northwolves

多谢，但
G(x)=0

---->$x={2k}/n*pi$
      $x={2k-1}/n*pi$
依然无从下手

lyg_wangyushi

啊，欠考虑了，我再想想~~~

mathe

极值点应该是
$x=k/(2n)*pi$
和
$x=k/(2n+1)*pi$
由于极大值和极小值通常交叉出现，
所以$x=k/(2n)*pi$应该是极小值
$x=k/(2n+1)*pi$应该是极大值。
所以我们只需要验证对于所有的$x=k/(2n)*pi$表达式成立就可以了。
将
$x=k/(2n)*pi$代入，得到
$sum{1/t *sin ((k*t)/(2n)*pi)}>=0$
或者说数列${1,1/2,1/3,...,1/n}$的离散正弦变换的所有项都是非负

mathe

可惜的很，上面lyg_wangyushi的证明错误了，要不然倒可以有个非常漂亮的证明过程。
不过我们先可以用来看看
$F(n,x)=sum_{k=1}^n {cos(kx)}/k>=0$
是否成立
计算可以知道，这时，$F'(n,x)$的导数就是lyg_wangyushi上面的计算结果。
极值点分别为:
$x={2k}/n*pi$和$x={2k}/{n+1}*pi$(上面我也算错了 )
其中${2k}/n*pi$为极大值点，${2k}/{n+1}*pi$为极小值点
呵呵，这个就是说，如果$F(n+1,x)$的结论成立，那么对于$F(n,x)$的结论自然成立
（如果这时都是正弦函数，那么正好倒过来，如果$F(n,x)$成立，那么$F(n+1,x)$成立，就是非常漂亮的证明了）
所以我们现在只要查看极限情况的结果。
现在让k固定，n趋向无穷，这个结果呵呵，好像是定积分吧，不过可惜的很，好像这个定积分的计算不是很容易。

mathe

现在返回正弦情况吧（反正余弦情况结论应该是不成立的）。
那么我们类似可以计算出极值点是
$x={2k}/n*pi$和$x={2k+1}/{n+1}*pi$
其中，${2k}/n*pi$为极小值，${2k+1}/{n+1}*pi$为极大值。
可惜呀，这时由于分子不同，我们没有$F(n,x)$和$F(n+1,x)$之间的自然关系了。
现在只要证明对于$x={2k}/n*pi,F(n,x)>=0$ (其中$0<=2k<=n$)

lyg_wangyushi

对阿，这个定积分好像在初等范围内无法求解吧。mathe果然强啊

mathe

还有需要说明的是计算机枚举说明在$n<=30$时，
${1,1/2,...,1/n}$的离散正弦变换所有项都非负，这是一个非常强的结论，如果成立，本题显然成立

mathe

现在我们看看对于函数
$F(x)=sin(x)+1/2 sin(2x)+1/3 sin(3x)+...+1/n sin(nx)$
我们能否证明对于$x=k/n*pi$ ($0<=k<=n$), $F(x)>=0$
我们先看看函数
$g(t,x)=sin(x)+sin(2x)+...+sin(tx)$,是否对于整数$t<n,x=k/n*pi$有$g(t,x)>=0$
$g(t,x)*2sin(x/2)=cos(x/2)-cos((t+1/2)x)$
根据余弦函数的几何意义，非常容易看出，对于有理数角$u=k/{2n}*pi$,而且$0<u<pi/2$
通常情况$cos(u)>=cos((2t+1)u)$,唯一的例外是$(2t+1)*k$是$4n$的倍数
所以，在k的2的因子不超过2n的2的因子的时候，我们已经得到
$g(t,x)>=0$
可惜得很，这个只是部分证明。
不过这时，我们可以证明，在k的2的因子不超过2n的2的因子的时候，
$F(x)=(1-1/2)g(1,x)+(1/2-1/3)g(2,x)+...+(1/(n-1)-1/n)g(n,x)>=0$