山顶上的决斗

KeyTo9_Fans

wayne在登一座山，在离山顶还有$1$步之遥的时候，

发现KeyTo9_Fans已经在山顶上恭候多时了。

KeyTo9_Fans决定给wayne出道难题，

于是拦住wayne，不让wayne登到山顶，如下图所示：

　　　　　　　　山顶
———————
Fans（满血）　
wayne（$1/3$血）　1步之遥
———————

　　　　　　　　2步之遥
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　　　　　　　　3步之遥
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　　　　　　　　4步之遥
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　　　　　　　　5步之遥
———————

　　　　…………

登山之路只有$1$条，

Fans会一直在路上阻止wayne往上走，

wayne想要登到山顶，只能将Fans顶到山顶上去。

Fans目前拥有$1$体力值，

而wayne只有$1/3$体力值。

Fans和wayne将进行$N$个回合的较量。

在每一回合里面：
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Fans和wayne同时发力，

假设本回合Fans使出了$a$的体力值，wayne使出了$b$的体力值，

如果$a>b$，那么wayne就会被Fans往下推$1$步，于是离山顶又多了$1$步之遥，但Fans会消耗掉$a$的体力值，wayne的体力值则保持不变；

如果$a<b$，那么wayne就会把Fans往上顶$1$步，于是离山顶就少了$1$步之遥，但wayne会消耗掉$b$的体力值，Fans的体力值则保持不变；

如果$a=b$，那么上帝就会掷骰子决定$1$种结果（此时，上述$2$种结果发生的概率均为$50%$）。
————————————

注意：体力值只会减少或不变，无法增加。

体力值可以用光，但不能透支。

wayne会采取最佳策略登到山顶。

Fans会采取最佳策略阻止wayne登到山顶，如果阻止不了，则会让wayne登到山顶所用的回合数的期望值尽可能大。

问题$1$：当$N->\infty$时，wayne能登到山顶的概率是多少？

问题$2$：在wayne能登到山顶的前提下，wayne所用回合数的期望值是多少？

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P.S.　上帝说：$a$和$b$最好取有理数。你们一个使出$\arccos(0)/6$的体力值，另一个使出$\pi/12$的体力值，会让我算得很辛苦

KeyTo9_Fans

【抛砖】满血的Fans看起来坚不可摧，实际上…… 可以预见地，wayne在第$1$回合就会不惜一切代价，使出所有的体力顶Fans。 Fans只能使出$1/3$以上的体力阻止wayne（不然Fans就输啦！）， 结果wayne一上来就耗掉了Fans$1/3$以上的血，如下图所示…… 　　　　　　　　山顶 ——————— 　　　　　　　　1步之遥 ——————— Fans（$\leq 2/3$血）　 wayne（$1/3$血）　　2步之遥 ——————— 　　　　　　　　3步之遥 ——————— 　　　　　　　　4步之遥 ——————— 　　　　　　　　5步之遥 ——————— 　　　　………… wayne接下来还有什么高招呢？

风云剑

有趣的问题，没有思路 上帝啊，就不劳您老出手了，呵呵 我是认为上帝不会影响结果的

qianyb

这个wayne不是输定了啊,只能是离山顶越来越原远了吧 1回合, fans出b+1 2,fans出b-1 3,循环1,2,fans先比wayne出力+1,再比wayne减1

风云剑

分析错误 第一，双方不知道对方会出多大力

zeroieme

假设wayne离山顶还有n步，此时他计划把体力非平均分配为(W₁,W₂,……W_n)，各步体力总和ΣW_i=W a，假设是第a次规划 2#就是n=1的特例。 如果wayne前n-1步,都成功。wayne剩余W1a。如2#分析，Fans为了最后一步阻止，必然使用W1a+ε。ε是无限逼近0的正数。 往前想，wayne为了W1 a最大，就是消耗Fans最大体力。前n-1步只要用一点点力ε。Fans怎么办？保留体力用更小力。于是双方无限逼近0?干脆大家都是0算了，让上帝发声。 这样的话wayne回到n=1的概率长远说是100%，Fans再次消耗1/3+ε。 最后wayne赢。

gxqcn

【抛砖】满血的Fans看起来坚不可摧，实际上…… 可以预见地，wayne在第$1$回合就会不惜一切代价，使出所有的体力顶Fans。 Fans只能使出$1/3$以上的体力阻止wayne（不然Fans就输啦！）， 结果wayne一上来就耗 ... KeyTo9_Fans 发表于 2013-4-1 23:54

假若是Fans放水，wayne虽可直接登顶，但此时已耗尽体力，也算胜利了吗？（代价太大了点吧） 若弱者有一定的“吸星大法”（这里应改为“吸血大法”），不知是否更有趣？ （反正我试了下，还无法给出好的规则，使之比楼主的游戏更有趣，更耐玩）

wayne

Fans又拿我开涮了

风云剑

两个绝顶聪明的人决斗，却由上帝掷色子决定结果？

zeroieme

Fans 1/8 1/16 1/32 1/64地，wayne怎么办？ KeyTo9_Fans 发表

看题目应当是不知道下一招对方出多少力， 仍有个问题，是否知道对方现在还有多少体力或者上一招中对方出多少力？