山顶上的决斗

mathe

嗯，数值计算是个好方法，虽然不太严谨，但至少给出了一个猜想。

那wayne可以赢的概率是多少呢？

给定$N$，如果Fans的目标只是阻挡wayne$N$步，那Fans能成功阻挡$N$步的概率是多少呢？
KeyTo9_Fans 发表于 2013-4-10 08:58

wayne赢的概率是100%.
而反之，Fans鞥成功阻挡N步的概率也是100%。
数值计算结果给出1/3后证明倒是不难

mathe

我们定义$f_0(x)=0,f_1(x)=x$,$f_{n+1}(x)={f_n(x)}/{1-f_n(x)+f_{n-1}(x)}$
记$g_n(x)=f_n(x)-f_{n-1}(x)$,于是$g_{n+1}(x)={f_n(x)g_n(x)}/{1-g_n(x)}, f_{n+1}(x)=f_n(x)+g_{n+1}(x)$
于是可以看出,在f,g连续的部分，必然有g和f都严格单调增(注意$x/{1-x}$是增函数)
然后我们计算可以知道$f_n(1/3)=n/{n+2}$,由此可以知道$lim_{n->+infty}f_n(1/3)=1$
反之，对于任意$e>1/3$,由于$f_n(e)=g_1(e)+g_2(e)+...+g_n(e)>=(e-1/3)+g_1(1/3)+g_2(1/3)+...+g_n(1/3)$
所以我们得出$lim_{n->+infty}f_n(e)>=(e-1/3)+lim_{n->+infty}f_n(1/3)=1+(e-1/3)>1$
也就是$1/3$是题目中提到的界。

KeyTo9_Fans

根据$12#$的递推式以及mathe一系列的推导，我们得到以下结论：

设wayne的初始体力是$x$，

当$x\in(1,+\infty)$时，只需要$1$步登顶；

当$x\in(2/3,1)$时，需要$3$步登顶；

当$x\in(5/9,2/3)$时，需要$5$步登顶；

当$x\in(1/2,5/9)$时，需要$7$步登顶；

当$x\in(7/15,1/2)$时，需要$9$步登顶；

当$x\in(4/9,7/15)$时，需要$11$步登顶；

当$x\in(3/7,4/9)$时，需要$13$步登顶；

当$x\in(5/12,3/7)$时，需要$15$步登顶；

当$x\in(11/27,5/12)$时，需要$17$步登顶；

当$x\in(2/5,11/27)$时，需要$19$步登顶；

当$x\in(13/33,2/5)$时，需要$21$步登顶；

当$x\in(7/18,13/33)$时，需要$23$步登顶；

……

总之，$N$步之内登顶所需的最小初始体力可以无限接近$1/3$，但达不到$1/3$。

当初始体力为$1/3$时，能登顶的概率是$1$，但所需步数的期望值是$+\infty$。

当初始体力小于$1/3$时，能登顶的概率是$0$。

所以，在这个游戏中，wayne能登顶的概率要么是$0$，要么是$1$，

不存在某个初始体力使得wayne能登顶的概率介于$0$到$1$之间，除非上帝不公正。

wayne

越来越发现抽时间啃emath里的题目是一种奢侈。