平分三角形面积的直线

数学星空

尺规作图:过三角形ABC内或外一点P作直线L平分三角形的面积？
此问题来自于http://bbs.cnool.net/cthread-12651303.html  

数学星空

东方论坛的dianlinchen ：
给出了结论：
在这里我给出了一个特征曲边（凹的）三角形N1N2N3，它以三角形三条中线的中点N1N2N3为顶点，曲边是这样的圆锥曲线段：以三角形的对应顶点为中心，以该顶点的内外角平分线为对称轴，与另外两条中线相切于他们的中点且夹于这两个中点之间的部分。

这个特征曲边三角形N1N2N3的切线都是将三角形面积等分的直线（充要的），而且所有作法都是可以尺规作图的（不过在这里给出的是间接作法），所以本题是一个尺规作图问题：

1、点P在特征曲边三角形之外，切线只有一条，因此只能作一条直线，将三角形面积两等分。
2、点P在特征曲边三角形之一条边上，切线可有两条，因此可作两条直线，将三角形面积两等分。
3、点P在特征曲边三角形之内，切线可有三条，因此可作三条直线，将三角形面积两等分。

数学星空

谁能给出曲边三角形的代数表达式？
对于平分凸N边形面积的直线是否也存在特征曲边N角形？有什么特性？

数学星空

不失一般性，设三角形ABC的顶点坐标分别为$（x1,y1）,(x2,y2), (x3,y3),$平分三角形面积的直线为$L：y=k*x+m$
则我们可以计算得到直线L的包络线，即曲边三角形方程：
$-6*y2*x1^2*y3+2*y1*x3^2*y2+2*y2^2*x1*x3+2*x2^2*y3*y1+2*x2*y3^2*x1-6*y1^2*x2*x3-y2^2*x1^2-x2^2*y3^2-y1^2*x2^2-y1^2*x3^2-y3^2*x1^2-y2^2*x3^2+(-8*x1^2+8*x1*x2+8*x1*x3-8*x2*x3)*y^2+$
$(8*x1^2*y2+8*x1^2*y3-8*x1*x2*y1-8*x1*x2*y3-8*x1*x3*y1-8*x1*x3*y2+16*x2*x3*y1)*y+(-8*y1^2+8*y1*y2+8*y1*y3-8*y2*y3)*x^2+((16*x1*y1-8*x1*y2-8*x1*y3-8*x2*y1+8*x2*y3-8*x3*y1+8*x3*y2)*y+16*y2*y3*x1+$
$8*y1^2*x2-8*y1*x2*y3-8*y1*y2*x3-8*y2*x1*y1-8*y1*y3*x1+8*y1^2*x3)*x-2*y2*x1*x2*y3+6*y2*x1*y1*x3+2*x2*y3*y2*x3+6*x2*y3*x1*y1-2*x2*y3*y1*x3-2*y1*x2*y2*x3-2*y3*x1*y2*x3+2*y1*x3*y3*x1+2*y2*x1*y1*x2＝0 $          （1）

$2*y2*x1^2*y3-6*y1*x3^2*y2+2*y2^2*x1*x3+2*x2^2*y3*y1-6*x2*y3^2*x1+2*y1^2*x2*x3-y2^2*x1^2-x2^2*y3^2-y1^2*x2^2-y1^2*x3^2-y3^2*x1^2-y2^2*x3^2-2*y2*x1*x2*y3-2*y2*x1*y1*x3+2*x2*y3*y2*x3-$
$2*x2*y3*x1*y1+6*x2*y3*y1*x3-2*y1*x2*y2*x3+6*y3*x1*y2*x3+2*y1*x3*y3*x1+2*y2*x1*y1*x2+(-8*x1*x2+8*x1*x3+8*x2*x3-8*x3^2)*y^2+(16*x1*x2*y3-8*x1*x3*y2-8*x1*x3*y3-8*x2*x3*y1-8*x2*x3*y3+8*x3^2*y1+8*x3^2*y2)*y+$
$(-8*y1*y2+8*y1*y3+8*y2*y3-8*y3^2)*x^2+((8*x1*y2-8*x1*y3+8*x2*y1-8*x2*y3-8*x3*y1-8*x3*y2+16*x3*y3)*y+16*y1*y2*x3+8*y3^2*x1-8*y2*y3*x1-8*y1*x2*y3-8*y1*x3*y3-8*y3*y2*x3+8*x2*y3^2)*x＝0 $                                  （2）

$2*y2*x1^2*y3+2*y1*x3^2*y2-6*y2^2*x1*x3-6*x2^2*y3*y1+2*x2*y3^2*x1+2*y1^2*x2*x3-y2^2*x1^2-x2^2*y3^2-y1^2*x2^2-y1^2*x3^2-y3^2*x1^2-y2^2*x3^2+6*y2*x1*x2*y3-2*y2*x1*y1*x3+2*x2*y3*y2*x3-$
$2*x2*y3*x1*y1-2*x2*y3*y1*x3+6*y1*x2*y2*x3-2*y3*x1*y2*x3+2*y1*x3*y3*x1+2*y2*x1*y1*x2+(-8*x1*x2*y2-8*x1*x2*y3+16*x1*x3*y2+8*x2^2*y1+8*x2^2*y3-8*x2*x3*y1-8*x2*x3*y2)*y+((-8*x1*y2+8*x1*y3-8*x2*y1+$
$16*x2*y2-8*x2*y3+8*x3*y1-8*x3*y2)*y+16*y1*x2*y3+8*y2^2*x3-8*y1*y2*x3-8*y2*y3*x1-8*x2*y3*y2-8*y1*x2*y2+8*y2^2*x1)*x+(8*x1*x2-8*x1*x3-8*x2^2+8*x2*x3)*y^2+(8*y1*y2-8*y1*y3-8*y2^2+8*y2*y3)*x^2＝0 $                （3）

例如：取$x1 = 1, y1 = 1, x2 = -2, y2 = -1, x3 = 3, y3 = -2$，代入（1），（2），（3）
得到：
$-129-136*y-48*x^2+48*y^2+(40*y+56)*x＝0$
$111+88*y-24*x^2+(-136*y-128)*x-80*y^2＝0$
$-113-128*y+16*x^2+(56*y+120)*x-120*y^2＝0$

作图得到：

wayne

找到链接了：
http://www.demonstrations.wolfram.com/TriangleAreaBisectors/




中间的那个曲边三角形是 Deltoid curve



曲边三角形的 顶点 是 三角形的三个中线的中点，
每个曲边 都是渐近线为三角形两边所在直线的 双曲线的一支。

wayne

假设存在这样的一般位置的直线，将三角形面积 平分。
则该直线必然只与两条边相交。假设与AB,BC相交， 分别为E,F，于是 2*AE*AF =  AB*AC


所以平分三角形面积的直线 的问题就转化成 三个这样的子问题：
给定两条直线， 及其交点O, 如果直线L交这两条给定直线于 P,Q两点，使得OP*OQ为定值。求所有满足这种性质的直线L的包络曲线。

y=k x+m  换成切线方程的形式，  k=f'(x0,y0),  m= - f'(x0,y0)*x0+y0 ,代进去 就是一个微分方程。

wayne

数学星空 发表于 2013-7-9 22:48
不失一般性，设三角形ABC的顶点坐标分别为平分三角形面积的直线为
则我们可以计算得到直线L的包络线，即 ...

从特例来看，我求出的结果跟数学星空的答案是一致的。
假设平分三角形为原先面积的p，则三条曲边的方程是

1. {4 x^2 (-y1+y3) (-y2+y3)+p (x2 y1-x3 y1-x1 y2+x3 y2+x1 y3-x2 y3)^2+4 (-x3 y1+x1 y3) (-x3 y2+x2 y3)+4 x (y3 ((x2+x3) y1+(-x1-x2) y3)+y2 (-2 x3 y1+(x1+x3) y3))+4 y (x3^2 (y-y1-y2)+x x2 (-y1+y3)+x1 (x2 y-x y2+x y3-2 x2 y3)+x3 (x (y1+y2-2 y3)+x2 (-y+y1+y3)+x1 (-y+y2+y3))),
   
2. 
   
3. 4 x^2 (-y1+y2) (y2-y3)+4 (-x2 y1+x1 y2) (x3 y2-x2 y3)+p (x2 y1-x3 y1-x1 y2+x3 y2+x1 y3-x2 y3)^2+4 x (y1 ((x2+x3) y2-2 x2 y3)+y2 ((-x1-x3) y2+(x1+x2) y3))+4 y (x3 (x1 y-x y1+x y2-2 x1 y2)+x2^2 (y-y1-y3)+x x1 (y2-y3)+x2 (x3 (-y+y1+y2)+x (y1-2 y2+y3)+x1 (-y+y2+y3))),
   
4. 
   
5. 4 x^2 (y1-y2) (y1-y3)+4 (x2 y1-x1 y2) (x3 y1-x1 y3)+p (x2 y1-x3 y1-x1 y2+x3 y2+x1 y3-x2 y3)^2+4 x (y1 ((-x2-x3) y1+(x1+x3) y2)+((x1+x2) y1-2 x1 y2) y3)+4 y (x x3 (y1-y2)+x1^2 (y-y2-y3)+x2 (x3 y+x y1-2 x3 y1-x y3)+x1 (x3 (-y+y1+y2)+x2 (-y+y1+y3)+x (-2 y1+y2+y3)))}

复制代码

令p=1/2, x1 = 1, y1 = 1, x2 = -2, y2 = -1, x3 = 3, y3 = -2
得到三角形的三边 以及三个曲边方程分别为：
1+2 x==3 y,
3 x+2 y==5,
7+x+5 y==0,
8 x (16+3 x)+136 x y+80 y^2==111+88 y,
113/2+64 y+60 y^2==4 x (15+2 x+7 y),
129+48 x^2+136 y==8 (6 y^2+x (7+5 y))

1. m=10;ContourPlot[{1+2 x==3 y,3 x+2 y==5,7+x+5 y==0,8 x (16+3 x)+136 x y+80 y^2==111+88 y,113/2+64 y+60 y^2==4 x (15+2 x+7 y),129+48 x^2+136 y==8 (6 y^2+x (7+5 y))},{x,-m,m},{y,-m,m},Axes->True,Frame->False]

复制代码

wayne

把上面的p换成其他任意的数字，图像动态变化的时候，就会更容易理解 问题的本质

wayne

数学星空 发表于 2013-6-30 22:20
谁能给出曲边三角形的代数表达式？
对于平分凸N边形面积的直线是否也存在特征曲边N角形？有什么特性？

如果从面积这个量做这种推广，则不具有一般性。
不过我们可以限定一下，动直线分割多边形(包括三角形)相邻的两边的有向长度之乘积为定值， 则可以如此推广，最终是多个双曲线半支的组合体。

数学星空

呵呵,若直线L,n等份三角形ABC的包络，即N等分面积的曲边三角形为：
$2*y3^2*x1*x2+2*y1*x2^2*y3+2*y3*x1^2*y2+2*y2^2*x1*x3+2*y1^2*x2*x3+2*y2*x3^2*y1-y1^2*x3^2-x2^2*y3^2-y1^2*x2^2-y2^2*x3^2-y2^2*x1^2-y3^2*x1^2+(-4*n*y1^2+4*n*y1*y2+4*n*y1*y3-4*n*y2*y3)*x^2+$
$((8*n*x1*y1-4*n*x1*y2-4*n*x1*y3-4*n*x2*y1+4*n*x2*y3-4*n*x3*y1+4*n*x3*y2)*y+4*y1^2*x3*n+8*n*y3*y2*x1-4*x2*y3*n*y1-4*y2*x1*n*y1+4*n*y1^2*x2-4*y2*x3*n*y1-4*y3*x1*n*y1)*x+$
$(-4*n*x1^2+4*n*x1*x2+4*n*x1*x3-4*n*x2*x3)*y^2+(4*n*x1^2*y2+4*n*x1^2*y3-4*n*x1*x2*y1-4*n*x1*x2*y3-4*n*x1*x3*y1-4*n*x1*x3*y2+8*n*x2*x3*y1)*y+4*x2*y3*n*x1*y1+4*y2*x3*n*x1*y1-$
$4*n*y1^2*x2*x3-4*n*y3*x1^2*y2-2*y2*x3*y1*x2+2*y2*x3*x2*y3-2*x2*y3*y1*x3-2*y2*x1*x2*y3+2*y2*x1*y1*x2-2*y1*x1*y2*x3+2*y3*x1*y1*x3-2*y3*x1*y1*x2-2*y3*x1*y2*x3=0$                                                     （1）  

$2*y3^2*x1*x2+2*y1*x2^2*y3+2*y3*x1^2*y2+2*y2^2*x1*x3+2*y1^2*x2*x3+2*y2*x3^2*y1-y1^2*x3^2-x2^2*y3^2-y1^2*x2^2-y2^2*x3^2-y2^2*x1^2-y3^2*x1^2-2*y2*x3*y1*x2+2*y2*x3*x2*y3-2*x2*y3*y1*x3-$
$2*y2*x1*x2*y3+2*y2*x1*y1*x2-2*y1*x1*y2*x3+2*y3*x1*y1*x3-2*y3*x1*y1*x2-2*y3*x1*y2*x3+4*y1*x2*n*x3*y3+4*x1*y2*n*x3*y3-4*n*y3^2*x1*x2-4*n*y2*x3^2*y1+(-4*n*y1*y2+4*n*y1*y3+4*n*y2*y3-4*n*y3^2)*x^2+$
$((4*n*x1*y2-4*n*x1*y3+4*n*x2*y1-4*n*x2*y3-4*n*x3*y1-4*n*x3*y2+8*n*x3*y3)*y+4*y3^2*x2*n+8*y2*x3*n*y1-4*n*y3*y2*x1-4*y1*x3*n*y3+4*n*y3^2*x1-4*x2*y3*n*y1-4*y2*x3*n*y3)*x+(-4*n*x1*x2+4*n*x1*x3+$
$4*n*x2*x3-4*n*x3^2)*y^2+(8*n*x1*x2*y3-4*n*x1*x3*y2-4*n*x1*x3*y3-4*n*x2*x3*y1-4*n*x2*x3*y3+4*n*x3^2*y1+4*n*x3^2*y2)*y=0$                                                                                                                     （2）

$2*y3^2*x1*x2+2*y1*x2^2*y3+2*y3*x1^2*y2+2*y2^2*x1*x3+2*y1^2*x2*x3+2*y2*x3^2*y1-y1^2*x3^2-x2^2*y3^2-y1^2*x2^2-y2^2*x3^2-y2^2*x1^2-y3^2*x1^2-2*y2*x3*y1*x2+2*y2*x3*x2*y3-2*x2*y3*y1*x3-$
$2*y2*x1*x2*y3+2*y2*x1*y1*x2-2*y1*x1*y2*x3+2*y3*x1*y1*x3-2*y3*x1*y1*x2-2*y3*x1*y2*x3+4*y3*x1*n*x2*y2+4*x3*y1*n*x2*y2-4*n*y1*x2^2*y3-4*n*y2^2*x3*x1+(4*n*y1*y2-4*n*y1*y3-4*n*y2^2+4*n*y2*y3)*x^2+$
$((-4*n*x1*y2+4*n*x1*y3-4*n*x2*y1+8*n*x2*y2-4*n*x2*y3+4*n*x3*y1-4*n*x3*y2)*y+4*y2^2*x1*n+8*x2*y3*n*y1-4*y2*x3*n*y1-4*y3*x2*n*y2+4*n*y2^2*x3-4*n*y3*y2*x1-4*y1*x2*n*y2)*x+(4*n*x1*x2-4*n*x1*x3-$$4*n*x2^2+4*n*x2*x3)*y^2+(-4*n*x1*x2*y2-4*n*x1*x2*y3+8*n*x1*x3*y2+4*n*x2^2*y1+4*n*x2^2*y3-4*n*x2*x3*y1-4*n*x2*x3*y2)*y=0 $                                                                                                                    （3）

取$x1 = 1, y1 = 1, x2 = -2, y2 = -1, x3 = 3, y3 = -2, n = 3$得到

取$x1 = 1, y1 = 1, x2 = -2, y2 = -1, x3 = 3, y3 = -2, n = 4$得到

取$x1 = 1, y1 = 1, x2 = -2, y2 = -1, x3 = 3, y3 = -2, n = 5$得到