等分三角形周长点构成的面积曲线

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设三角形ABC三边长为$a,b,c$,若点$P_1,P_2,P_3$均在三条边上，且$P_1,P_2,P_3$依次为ABC的周长的三等分点，并记三角形$P_1P_2P_3$的面积为$S$，ABC的面积为$S_0$
若记$|AP_1|=x$,$S/S_0=y$求y关于x函数表达式？

注：$|AP_1|= AP_1$  当$P_1$在AB边上时
    $|AP_1|= c+BP_1$  当$P_1$在BC边上时
    $|AP_1|= c+a+CP_1$  当$P_1$在AC边上时
     即把ABC三边,$AB+BC+CA $当成一条直线（$P_1,P_2,P_3$依次在此直线上。$0<=x<a+b+c$）

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这个不难，就是表达式比较繁杂。P1,P2,P3三点的坐标可以直接写出来，就是需要判断一下三点在三边的分布情况，
得到P1,P2,P3的坐标值，那么S就是这三点组成的行列式的值了

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TO 2#:
只要将一般情形分类好，剩余计算问题就不是太难了。
首先要分成6种情形：
1. $ c<=(a+b+c)/3<=b<=a$
2.  $c<=(a+b+c)/3<=a<=b$
3.  $b<=(a+b+c)/3<=a<=c$
4.  $b<=(a+b+c)/3<=c<=a$
5.  $a<=(a+b+c)/3<=b<=c$
6. $ a<=(a+b+c)/3<=c<=b$
然后分$P_1,P_2,P_3$在哪一条边上作进一步分类计算？
有谁能够给出此分类条件？



                              
         AB          BC              CA
1.    $P_1$          $P_2,P_3$         $X$
2.    $P_1$          $P_2$               $P_3$  
3.    $P_1$          $X$                  $ P_2, P_3$
4.    $X $            $P_1$               $P_2,P_3$
5.    $P_3$          $ P_1$              $P_2$
6.    $P_3$          $X$                  $P_1,P_2$
7.    $P_3,P_2$    $P_1$              $X$
8.    $P_3,P_2$    $X$                  $P_1$
9.    $P_2$          $P_3$              $P_1$
10.  $P_2$          $X$                  $P_3,P_1$
11.  $P_1,P_2$     $X$                $P_3$
12.  $P_1,P_2$     $P_3$             $X$
上面分类是否完备？


例如可以计算情形：$a=3,b=4,c=5$

wayne

数学星空 发表于 2013-7-13 09:04
a=3,b=4,c=5

曲线类型 基本上就是三段 或直线或抛物线，组合起来的分段函数。
48/5-(12 x)/5    0<=x<1
16-(56 x)/5+(12 x^2)/5    1<=x<=4
96/5-(12 x)/5    4<x<5
..

1. \[Alpha]=ArcSin[3/5];
   
2. Plot[Piecewise[{{Abs@Det[{{0,x,1},{0+x Sin[\[Alpha]],4-x Cos[\[Alpha]],1},{(4+x) Sin[\[Alpha]],4-(4+x) Cos[\[Alpha]],1}}],0<=x<1},{Abs@Det[{{0,x,1},{3-(x+4-5),0,1},{x Sin[\[Alpha]],4-x Cos[\[Alpha]],1}}],1<=x<=4},{Abs@Det[{{(x-4) Sin[\[Alpha]],4-(x-4) Cos[\[Alpha]],1},{x Sin[\[Alpha]],4-x Cos[\[Alpha]],1},{0,x-4,1}}],4<x<5}}],{x,0,5}]

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不失一般性：我们可以设$a>=b>=(a+b+c)/3>=c$
令$L=a+b+c,y=L/3+x-c,z=x+b-L/3$,$L_0$为$P_1P_2P_3$的周长
1.当$0<=x<=c$时
   $S/S_0=1-x*(b-z)/(b*c)-y*(c-x)/(a*c)-z*(a-y)/(a*b)$
     $L_0/L=(sqrt(x^2+(b-z)^2-2*x*(b-z)*cosA)+sqrt(y^2+(c-x)^2-2*y*(c-x)*cosB)+sqrt(z^2+(a-y)^2-2*z*(a-y)*cosC))/(a+b+c)$
2.当$c<=x<=a+c-L/3$时
   $S/S_0=(x-a-c+2/3*L)*L/(3*a*b)$
    $ L_0/L=1/3*L+sqrt((a-1/3*L+c-x)^2+(x-a-c+2/3*L)^2-2*(a-1/3*L+c-x)*(x-a-c+2/3*L)*cosC)+sqrt((x-a-c+2/3*L)^2+(a+c-x)^2-2*(x-a-c+2/3*L)*(a+c-x)*cosC)$
3.当$a+c-L/3<=x<=L/3$时
   $S/S_0=L*(a+c-x)/(3*a*b)$
     $L_0/L=(sqrt((a+c-x)^2+(1/3*L+x-a-c)^2-(2*(a+c-x))*(1/3*L+x-a-c)*cosC)+1/3*L+sqrt((a+c-x)^2+(b+x-1/3*L)^2-(2*(a+c-x))*(b+x-1/3*L)*cosC))/(a+b+c)$
注：$0<=x<=c , L/3<=x<=c+L/3, 2/3*L<=x<=c+2/3*L$时 $S/S_0, L_0/L$值是一致的
    $c<=x<=a+c-L/3 , L/3+c<=x<=c+a, 2/3*L+c<=x<=a+c+L/3$时 $S/S_0, L_0/L$值是一致的
    $a+c-L/3<=x<=L/3 , a+c<=x<=2/3*L, a+c+L/3<=x<=L$时 $S/S_0, L_0/L$值是一致的
例：取$a=5,b=4,c=3$
       $S/S_0$关于x的函数图像
     
    $L_0/L$关于x的函数图像
     
例：取$a=13,b=12,c=5$
       $S/S_0$关于x的函数图像
     
      $ L_0/L$关于x的函数图像
     
      

wayne

貌似3,4,5,的情况 我们算出来的不太一致。

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对于a=5,b=4,c=3
$S/S_0=$
      1.    $ 4/5-2/3*x+1/5*x^2$               $0<=x<=3$
      2.    $1/5*x$                                    $3<=x<=4$
      3.    $8/5-1/5*x$                              $4<=x<=4$
      4.    $4/5-2/3*(x-4)+1/5*(x-4)^2 $    $4<=x<=7$
      5.    $1/5*(x-4) $                             $7<=x<=8$
      6.    $8/5-1/5*(x-4)$                        $ 8<=x<=8$
      7.    $4/5-2/3*(x-8)+1/5*(x-8)^2$    $8<=x<=11$
      8.    $1/5*(x-8)$                             $11<=x<=12$
      9.    $8/5-1/5*(x-8)$                       $12<=x<=12$
$L_0/L=$
      1.    $1/36*sqrt(18*x^2-72*x+144)+1/36*sqrt(288/5-288/5*x+144/5*x^2)+1/36*sqrt(162/5*x^2-648/5*x+144)$                                     $0<=x<=3$
      2.    $1/3+1/36*sqrt(162/5*x^2-648/5*x+144)+1/36*sqrt(162/5*x^2-1296/5*x+576)$                                                                            $3<=x<=4$
      3.    $1/36*sqrt(162/5*x^2-1944/5*x+5904/5)+1/3+1/36*sqrt(162/5*x^2-1296/5*x+576)$                                                                      $4<=x<=4$
      4.    $1/36*sqrt(18*(x-4)^2-72*(x-4)+144)+1/36*sqrt(288/5-288/5*(x-4)+144/5*(x-4)^2)+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-648/5*(x-4)+144)$      $4<=x<=7$
      5.    $1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-648/5*(x-4)+144)+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-1296/5*(x-4)+576) $                                                        $7<=x<=8$
      6.    $1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-1944/5*(x-4)+5904/5)+1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-1296/5*(x-4)+576)$                                                   $ 8<=x<=8$
      7.    $1/36*sqrt(18*(x-8)^2-72*(x-8)+144)+1/36*sqrt(288/5-288/5*(x-8)+144/5*(x-8)^2)+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-648/5*(x-8)+144)$        $8<=x<=11$
      8.    $1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-648/5*(x-8)+144)+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-1296/5*(x-8)+576)$                                                         $11<=x<=12$
      9.    $1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-1944/5*(x-8)+5904/5)+1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-1296/5*(x-8)+576)$                                                   $12<=x<=12$

wayne

数学星空 发表于 2013-7-17 23:05
对于a=5,b=4,c=3

      1.                  

额， 我画的是 a=3,b=4,c=5的情况。
而且，我把x当作是斜边上的变量了。是我弄错了。

wayne

数学星空 发表于 2013-7-17 23:05
对于a=5,b=4,c=3

      1.                  

这个分段函数应该是处处连续的吧
看你的意思好像在4，8，12处不连续

数学星空

wayne 发表于 2013-7-18 14:14
这个分段函数应该是处处连续的吧
看你的意思好像在4，8，12处不连续

是连续点噢，只是这三个点是特殊点（P_i）za在三角形三个点时，可以将此点代入检验