折纸重叠面积问题

hujunhua

按照那里29楼、30楼的断言，这里应该有“两个三角形互截所得线段与三角形的边长成比例”的结论。对于力矩平衡的要求，由于合力为0的3个力达到力矩平衡的充要条件是它们为共点力，所以我们立即得出这里的重叠六边形内接于一个圆的结论。

假定所得解就是镜像对称位置的，那么，折叠三角形里的重叠四边形就是内接于一个半圆的，折痕为半圆的直径，其它三边与三角形的边长成比例。

wayne

hujunhua 发表于 2014-1-2 19:05
按照那里29楼、30楼的断言，这里应该有“两个三角形互截所得线段与三角形的边长成比例”的结论。对于力矩 ...

能否剥离掉物理的概念. 抽象出对应的 等价的数学解决思路?

mathe

老胡这个方法折痕是直径吗？等腰三角形显然不符合呀

数学星空

我试算了几个例子，其实有很多情况下，沿着角平分线折叠时，重叠率最大……我们可能要分情况讨论

gxqcn

数学星空 发表于 2014-1-2 21:12
我试算了几个例子，其实有很多情况下，沿着角平分线折叠时，重叠率最大……我们可能要分情况讨论

如果总是“沿着角平分线折叠时，重叠率最大”，
由三角形角平分线性质定理，可知，重叠率直接与相邻两边的比例相关。

假设一个三角形三边长由小至大依次为：$1$、$k$、$k^2$，其中 $k≥1$，
由两边之和大于第三边，得 $1+k>k^2$，
解得：$1<=k<omega=(1+sqrt5)/2=1.6180...$，

当 $k->omega$ 时，该三角形的最大可重叠率为：$1/(omega+1)=(3-sqrt5)/2=0.3819660...$
这与之前大家说的极限值 $sqrt2-1=0.41421...$ 有不小的差距。

我猜测 $1/(omega+1)$可能就是理论的极限值，
否则，大家先用个特例看能否推翻：
取 $k=8/5=1.6$，三边长依次为：25、40、64 的三角形，看看最大可重叠率能否突破 $1/(k+1)=5/13=0.3846...<0.4$？

倪举鹏

我相信此问题我已经全部解决了  都在几页草稿纸上面   需要整理。可惜数学软件不给力，有个二元高次方程组，不能得到全部数值解，从而无法验证猜想的正确性

倪举鹏

先考虑3条角平分线吧，设三边a>b>c, b+c>a   求b/(a+b),c/(a+c),c/(b+c)这三个比值中最大值最小可以达到是多少   谁算出来告诉我

倪举鹏

算出来了  对任何三角形3个角平分线 至少可以将三角形分作的比例是(3-5^(1/2))/2=0.382,可是这个时候，折痕垂直最长边可以折到1/5^(1/2)=0.4472   然后的工作就是缩小这两个数值的差距了，一定要找出这个三角形

倪举鹏

找到了一个三角形似乎无论怎么折叠，这个比例不会超过2^0.5-1,这个三角形三边是1,2^0.5,2^0.5-1    这个三角形已经退化成一个线段了。其他任何三角形都可以折叠到大于2^0.5-1    从而验证了这个结论正确

思路是任何三角形先折叠3个平分线，让得到最小值0.382 边成黄金比例，可是垂直长边折叠却是1/5^0.5=0.44了，失败了，考虑垂直长边折叠等于平分线折叠  就算出来这样的三个边长了

mathe

应该是这样：如果一个三角形中存在两条边a,b,其中a>b但是$a/b<=sqrt(2)$,那么利用两边夹角对角线作为折痕，重叠面积占总面积比例为$b/{a+b}>=sqrt(2)-1$
而对于三角形三边为a,b,c,$a>b>c$而且$a/b>sqrt(2),b/c>sqrt(2)$,做出一条垂直a边的折痕，让重叠面积最大，可以证明这个重叠面积比例为${tan(B)+tan(C)}/{3tan(B)+tan(C)}>sqrt(2)-1$