一道积分题

葡萄糖

cn8888 发表于 2014-1-21 11:40
@葡萄糖
这个是结果的表达形式的不同,我也好奇如何证明这两个结果相同
但是我觉得只有从数值解上来理 ...

这个是结果的表达形式的不同,我也好奇如何证明这两个结果相同
但是我觉得只有从数值解上来理解吧,如果数值解的前100位相同,
那差不多就一样的
！！！！！！！！！！！！！！！！！
你总算知道我的用苦良心了！
望高人指点！！

cn8888

我无能...........,我只会用mathematica软件计算数值解,只会这么多

wayne

1. 勿以善小而不为！ 图像旋转之后，一楼算出来的答案和6#给的答案为什么不同呢？？

复制代码

1#和6#的答案是一样的.
1#的答案是 \(  \sqrt{2 \sqrt{2}-1}+\sin ^{-1}\left(\sqrt{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}\right)-2 \sinh ^{-1}\left(\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}\right) \)
6#的答案是\( \sqrt{2 \sqrt{2}-1}-\frac{\pi }{4}+2 \log \left(\frac{1}{2} \left(-\sqrt{2 \sqrt{2}-1}+\sqrt{2}+1\right)\right)+2 \csc ^{-1}\left(\sqrt{-\sqrt{31+22 \sqrt{2}}+3 \sqrt{2}+5}\right)\)

根据三角函数的几个和差化积公式得知:
\( 2 \csc ^{-1}\left(\sqrt{-\sqrt{31+22 \sqrt{2}}+3 \sqrt{2}+5}\right)-\frac{\pi }{4}  =  \sin ^{-1}\left(\sqrt{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}\right) \)
根据反双曲正弦函数与对数函数的关系,得知:
        \( -2 \sinh ^{-1}\left(\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}\right) = 2 \log \left(\frac{1}{2} \left(-\sqrt{2 \sqrt{2}-1}+\sqrt{2}+1\right)\right) \)

所以恒等.

============
呼,公式 还是截图的, 我还得手工敲出来...
楼主给我送点分吧,以慰藉我的苦劳...

chyanog

1. Show[RegionPlot[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 1 && x y > 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
   
2. ContourPlot[{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 == 1, x y == 1}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}], Axes -> 1, Frame -> 0]
   
3. 
   
4. Integrate[ Boole[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 1 && x y > 1], {x, -Infinity,  Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}] // AbsoluteTiming
   
5. Area@RegionIntersection[Disk[{1, 1}, 1], ImplicitRegion[x y > 1, {x, y}]] // AbsoluteTiming
   
6. Area[ImplicitRegion[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 1 && x y > 1, {x, y}]] // AbsoluteTiming
   
7. 
   
8. Integrate[Boole[x^2+y^2<1&&(x+1)(y+1)>1],{x,-Infinity,Infinity},{y,-Infinity,Infinity}]//AbsoluteTiming
   

复制代码

倪举鹏

可以将阴影挖个90度扇形出去  剩下的就容易看出来了。高数里面也有向量场积分，也好计算的