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[原创] 一个广义定积分的求值证明

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发表于 2014-6-1 21:52:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 zuijianqiugen 于 2014-6-2 06:17 编辑

(一)一个广义定积分的值:

          A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx=0  (若用原函数求之,为不定型)

(二)普西函数的狄利克莱公式:

          ψ(z)=∫(0,∞)[x-1e-x-x-1(1+x)-z]dx(ReZ>0)

令z=1得

         欧拉常数γ=-ψ(1)=(-1)∫(0,∞)[x-1e-x-x-1(1+x)-1]dx
            
                        =∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx+∫(0,∞)[x-1(1+x)-1-(2x)-1]dx
                        
                        =γ+∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx

所以     A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx=0        得证

(三)欧拉常数γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx的证明:(Γ函数证法)

         (1)  (ε→+0)[Γ(ε)-1/ε]=-γ、     (ε→+0)[Γ(-ε)+1/ε]=-γ

         (2)  (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=-2γ

         (3)  (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)xε-1e-xdx+∫(0,∞)x-ε-1(e-x-1)dx]
        
                                                 =∫(0,∞)(2x-1e-x-x-1)dx

                                                 =-2γ

         (4)  γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx


注:  ①还有“黎曼ζ函数证法”,参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 240622013921109818/

         ②用此法求之,相当于不定型的洛比塔法则。

         ③特悬赏十个金币,欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。

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(三)(3)  发表于 2014-6-1 23:44
(三)不对  发表于 2014-6-1 23:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-6-1 23:25:52 | 显示全部楼层
用此法求之,相当于不定型的洛比塔法则。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-6-1 23:43:29 | 显示全部楼层
(三)哪里不对 ?望指正出来,我虚心接受,再进行修正。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-6-1 23:45:33 | 显示全部楼层
(三)(3)哪里不对 ?望指正出来,我虚心接受,再进行修正。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-2 00:30:50 | 显示全部楼层
你再核查一下,应该输写错误吧

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(1)开始输入时,有笔误的情况, (2)发现后,已经修正; (3)其结论是正确的,况且还有“黎曼ζ函数证法”。  发表于 2014-6-2 00:36

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-6-2 00:42:37 来自手机 | 显示全部楼层
no.结论不正确。而且你还没改过来

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作为好友,挑不出毛病,说明我的结论是正确的。  发表于 2014-6-2 05:52
(三)(3)哪里不对 ?望指正出来,我虚心接受,再进行修正。  发表于 2014-6-2 00:50
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2014-6-2 05:57:50 | 显示全部楼层
特悬赏十个金币,欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。
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发表于 2014-6-2 07:51:30 | 显示全部楼层
(ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)xε-1e-xdx+∫(0,∞)x-ε-1(e-x-1)dx]


这个从哪弄来的:
\[\Gamma(-z)=\int_0^{\infty } \left(e^{-x}-1\right) x^{-z-1} \, dx\]

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这是《特殊函数》中的一道练习题  发表于 2014-6-2 09:35
这是《解析数论》中的一道练习题。  发表于 2014-6-2 09:01
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-6-2 08:11:34 | 显示全部楼层
额, 上面的积分式子好像是成立的,我昨晚在平板上看,没见过这式子,以为你敲错了.

关键有问题的地方应该是1/ε 在ε -> 0处极限不存在。你这样直接“偷偷的抹掉”是不行的吧
得按+0和-0分别讨论

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“1/ε 在ε -> 0处极限不存在”,是何意?  发表于 2014-6-2 08:55
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2014-6-2 08:52:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 zuijianqiugen 于 2014-6-2 09:32 编辑
wayne 发表于 2014-6-2 07:51
这个从哪弄来的:
\[\Gamma(-z)=\int_0^{\infty } \left(e^{-x}-1\right) x^{-z-1} \, dx\]


(1)这是《解析数论》、《特殊函数》中的一道练习题;
(2)在互联网上一时还找不到可供查阅的《解析数论》和《特殊函数》,可参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622011312101146555/
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