一个广义定积分的求值证明

zuijianqiugen

（一）一个广义定积分的值：

          A=∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx=0  （若用原函数求之，为不定型）

（二）普西函数的狄利克莱公式：

          ψ(z)=∫(0,∞)[x^-1e^-x-x^-1(1+x)^-z]dx（ReZ＞0）

令z=1得

         欧拉常数γ=-ψ(1)=(-1)∫(0,∞)[x^-1e^-x-x^-1(1+x)^-1]dx
            
                        =∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx+∫(0,∞)[x^-1(1+x)^-1-(2x)^-1]dx
                        
                        =γ+∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx

所以     A=∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx=0        得证

（三）欧拉常数γ=∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx的证明：（Γ函数证法）

         （1）  (ε→+0)[Γ(ε)-1/ε]=-γ、     (ε→+0)[Γ(-ε)+1/ε]=-γ

         （2）  (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=-2γ

         （3）  (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)x^ε-1e^-xdx+∫(0,∞)x^-ε-1(e^-x-1)dx]
        
                                                 =∫(0,∞)(2x^-1e^-x-x^-1)dx

                                                 =-2γ

         （4）  γ=∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx


注：  ①还有“黎曼ζ函数证法”，参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 240622013921109818/

         ②用此法求之，相当于不定型的洛比塔法则。

         ③特悬赏十个金币，欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。

zuijianqiugen

用此法求之，相当于不定型的洛比塔法则。

zuijianqiugen

（三）哪里不对 ？望指正出来，我虚心接受，再进行修正。

zuijianqiugen

（三）（3）哪里不对 ？望指正出来，我虚心接受，再进行修正。

wayne

你再核查一下，应该输写错误吧

wayne

no.结论不正确。而且你还没改过来

zuijianqiugen

特悬赏十个金币，欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。

wayne

(ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)xε-1e-xdx+∫(0,∞)x-ε-1(e-x-1)dx]

这个从哪弄来的:
\[\Gamma(-z)=\int_0^{\infty } \left(e^{-x}-1\right) x^{-z-1} \, dx\]

wayne

额, 上面的积分式子好像是成立的，我昨晚在平板上看，没见过这式子，以为你敲错了.

关键有问题的地方应该是1/ε 在ε -> 0处极限不存在。你这样直接“偷偷的抹掉”是不行的吧
得按+0和-0分别讨论

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-2 07:51
这个从哪弄来的:
\[\Gamma(-z)=\int_0^{\infty } \left(e^{-x}-1\right) x^{-z-1} \, dx\]

（1）这是《解析数论》、《特殊函数》中的一道练习题；
（2）在互联网上一时还找不到可供查阅的《解析数论》和《特殊函数》，可参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622011312101146555/