如何向小学生介绍，几个数相加，按任意顺序相加结果一样

dianyancao

\[a_1+a_2+\cdots+a_i+a_j+\cdots+a_n=a_1+a_2+\cdots+a_j+a_i+\cdots+a_n\]
如何简洁的证明上式？
可使用
加法交换律：\(a+b=b+a\)
加法结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c\)
数学归纳法

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小学生先是学会了两个数相加的计算法则，然后检验一些例子，说明这些例子跟相加顺序无关，然后就视为铁律了。
小学本来就是观察归纳总结的。

顺便说，证明上式不会简洁吧，就算我们去证明，也要用数学归纳法写写呀。

dianyancao

是啊，有点繁琐，好像还要对计算表达式进行语法分析
不过简洁的证明应该是有的，当这些\(a_k\)都是实数时，可以将部分常量结合起来计算

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dianyancao 发表于 2014-8-7 23:54
是啊，有点繁琐，好像还要对计算表达式进行语法分析
不过简洁的证明应该是有的，当这些\(a_k\)都是实数时 ...

不是，就是简单地，这些都是实数，证明也不简单。

也就是说，你要证明n个实数，打乱顺序后和不变。由交换率和结合律得知n=2、n=3时成立，要证明n=k时成立，看起来简单，严格写出来，要用到数学归纳法。这跟$a_i$是不是实数无关，复杂度都是一样的呀。

假设n在不大于k的时候成立，那么到了n=k+1，就可以把k+1个元素的和在$a_{k+1}$那里截断，成为三个和（$a_{k+1}$前面的部分和+$a_{k+1}$+$a_{k+1}$后面的部分和）。这样子就可以利用结合律和交换律，先加前后两部分了。

我在想的是，这么基本的问题都要证明，那么我们是不是得先证明“数学归纳法”这一证明方法本身的正确性？

dianyancao

嗯，可以不用数学归纳法吗？
只需证明上式相邻对换得到的和相同，因为用相邻对换能生成所有的排列
问题就仅限于上述一个式子了，按加法的计算顺序加括号后应该能把\(a_i+a_j\)结合为一个整体，然后可使用加法交换律，再去括号后就证明这个式子了
有没有更简单的方法啊？

dianyancao

加括号也很麻烦呢..
\[
\begin{align*}
&a_1+a_2+\cdots+a_i+a_j+\cdots+a_n \\
&=(a_1+a_2+\cdots+a_i+a_j)+\cdots+a_n \\
&=((a_1+a_2+\cdots)+a_i+a_j)+\cdots+a_n \\
&=((a_1+a_2+\cdots)+(a_i+a_j))+\cdots+a_n \\
&=((a_1+a_2+\cdots)+(a_j+a_i))+\cdots+a_n \\
&=a_1+a_2+\cdots+a_j+a_i+\cdots+a_n \\
\end{align*}
\]

cn8888

向小学生介绍其实很简单,
你昨天早上吃了三个苹果，下午吃了四个苹果，那么一共吃了七个苹果
如果今天早上吃四个苹果，下午吃了三个苹果，那么一共吃几个苹果呢？
你可以跟小学生说朝三暮四的故事，用不着谈什么证明，因为他们真的还
很幼稚！

kastin

只要让他们明白：任意一个乱序排列总能通过有限步的相邻元素交换操作（”逐步调序“）变为有序的。
当然，上述思想比较抽象，小学生估计很难接受。一般来说，小学不要求证明，所以举个例子演示，然后归纳一下，得出结论就行。

TSC999

嗯，要是无限个数相加，结合率就可能出毛病了。