某一阶微分方程

fungarwai

$y'+\frac{x}{y}=x^2y^3$

kastin

令 `z=y^2`，便化为Riccati方程。

fungarwai

kastin 发表于 2014-10-15 22:45
令 `z=y^2`，便化为Riccati方程。

我是初学微分方程的，被后面的二阶卡住了，麻烦解下去
$z=y^2,z=\frac{-u'}{2x^2u}$
$u''-\frac{2}{x}u'-4x^3u=0$

282842712474

$$x=e^u, y=v^{3/2}e^{-3u/2}$$
如果我没算错的话，该变换把原方程变为
$$3\frac{dv}{du}=v+2v^4$$
该方程的解是
$$v^3 (1+2v^3)=c e^u$$
那么原方程的解就是
$$x^2 y^2 (1+2 x^3 y^2)=c$$

kastin

fungarwai 发表于 2014-10-15 23:44
我是初学微分方程的，被后面的二阶卡住了，麻烦解下去
$z=y^2,z=\frac{-u'}{2x^2u}$
$u''-\frac{2}{x}u ...

一般的n阶变系数齐次常微分方程是没有通用解法的。但是解的结构我们可以知道。根据线性算子理论，线性齐次方程的解是由基础解系的线性组合构成，这里的基础解系是n个线性无关的特解，满足朗斯基(Wronski)行列式不为零。也就是说，只要知道了n个线性无关的特解，就能得到齐次方程的通解。对于非齐次情况，则需要再齐次通解上加上一项非齐次方程的特解（用变易系数法来求）。

不过对于一些系数满足特定关系的情形，还是可以通过一些变换来化为熟悉的可解类型（比如伯努利方程、欧拉方程、特殊的黎卡提方程等等）。同样，特殊的黎卡提方程也是可解的（系数必须满足一定的函数关系）。

注意，上面3#其实给出了黎卡提方程化为二阶线性微分方程的方法。事实上，他们之间可以相互转换。

即使是二阶的变系数微分方程，大多数仍然没有解析解（回忆一下勒让德微分方程，贝塞尔微分方程，拉盖尔微分方程，艾利微分方程，系数形式多简单）。考虑到3#那个方程的一次导数项是1/x，后面是多项式，因此解很有可能写成贝塞尔函数的某个复合表达形式。查手册 Polyanin, Zaitsev. Handbook of exact solutions for ODEs (CRC, 1995) 可知解能写作$$u=x^{\frac{3}{2}}[C_1\mathrm J_{\frac{3}{5}}(\frac{4}{5}ix^{\frac{5}{2}})+C_2\mathrm Y_{\frac{3}{5}}(\frac{4}{5}ix^{\frac{5}{2}})]$$不过这样再去求`z`再求`y`，就不一定说明`y`无解析解了。

另外3#中的二阶线性微分方程还可以继续化简。令`\D u=\exp(-\frac{1}{2} \int -\frac{2}{x}\dif x)w=xw`，那么3#方程可以化为$$w''+Iw=0 \tag{1}$$其中`\D I=-4x^3-\frac{1}{4}(-\frac{2}{x})^2-\frac{1}{2}(-\frac{2}{x})'=-(4x^3+\frac{2}{x^2})`被称为不变式。

wayne

可以这样倒腾：

两边都乘以$2y dx$ :       $y'+\frac{x}{y}=x^2y^3   \rightarrow  d(x^2+y^2) =2x^2y^4dx$
看着指数有点大，别扭，变量代换，统统都降一倍吧：     $ d(X+Y) =\sqrt{X}Y^2 dX $,  

即得$ Y' = \sqrt{X}Y^2 -1 $

用Mathematica解得是 贝塞尔函数的形式：

1. DSolve[Y'[X] == Sqrt[X] Y[X]^2 - 1, Y[X], X] // FullSimplify

复制代码

\[Y(X)\to -\frac{c_1 \Gamma \left(\frac{2}{5}\right) I_{\frac{2}{5}}\left(\frac{4 X^{5/4}}{5}\right)+(-1)^{3/5} \Gamma \left(\frac{8}{5}\right) I_{-\frac{2}{5}}\left(\frac{4 X^{5/4}}{5}\right)}{\sqrt[4]{X} \left(c_1 \Gamma \left(\frac{2}{5}\right) I_{-\frac{3}{5}}\left(\frac{4 X^{5/4}}{5}\right)+(-1)^{3/5} \Gamma \left(\frac{8}{5}\right) I_{\frac{3}{5}}\left(\frac{4 X^{5/4}}{5}\right)\right)}\]


将这个解再换回去，即$X \to x^2 ,  Y \to y^2$ , 得解。

wayne

<Handbook of exact solutions for ODEs> 这本书 超级强悍，在微盘上下载到了。放在群里。

发现很多看上去很棘手的ODE，经过适当的变量代换（自变量和因变量都是非线性的），总能归结到一个相对简洁的通用形式。