证明或否定：等比为奇素数的数列的和必有大于等比的素因子

sunwukong · 发表于 2015-6-2 21:40:41

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已知 \(q\) 是奇素数，\(n\) 是大于 \(1\) 的正整数，

\(S=1+q+q^2+\*\*\*+q^n\)

证明或否定，\(S\) 的最大素因子大于 \(q\)

zeroieme · 发表于 2015-6-3 00:00:55

1+3=4=2X2
1+3+9=13
……

manthanein · 发表于 2015-10-29 19:19:59

\(1+7+7^{2}+7^{3}=2^{4} \times 5^{2}\)
可以算反例了吧？

DGZN23 · 发表于 2015-10-30 16:53:38

推广到一般情况
证明S(m)=1+m+....+m^n有大于m的素因子
假设S(m)没有大于m的素因子
计S(m)的最大素因子为A，m=kA+B.(k>0,B<A)
S(m)==1+B+....+B^n==S(B)==0(modA)
A>B则S(B)有大于B的素因子故结论是否定的

manthanein · 发表于 2015-10-30 19:51:03

\(S(7)=1+7+7^{2}+7^{3}\)
\(7=1 \times 5+2\)
\(7 \equiv 2 \pmod 5 \)
\(7^{2} \equiv 2^{2} \pmod 5 \)
\(7^{3} \equiv 2^{3} \pmod 5 \)
\(1+7+7^{2}+7^{3} \equiv 1+2+2^{2}+2^{3} \pmod 5 \)

manthanein · 发表于 2017-1-20 14:09:48

http://oeis.org/A073501
用这个数列中的数，可以构造出一堆反例

manthanein · 发表于 2017-1-20 14:16:43

\(1+67+67^2=3 \times 7^2 \times 31\)

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