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[猜想] 我自己琢磨的,恳请大家帮忙论证·

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发表于 2015-6-10 02:35:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
18金币
正整数的四则分解与堆垒


        将一个正整数 n 表为若干个 1 的四则运算称为 n 的四则分解。如果其中不含有减和除,则称为半四则分解(虽然只有加乘两种运算)。所含1的数量称为分解的长度。长度最小的分解称为 n 的最小四则分解。这个最小长度记为a(n)(和b(n)), 且都称为 n 的分子量(有文献定义为复杂度),这就得到了两个数列。a(n)即OEISA091333(感谢@zhouguang提供链接), b(n)即A005245(感谢管理员提供链接)。显然,在最小四则分解中,除法是用不上的。
        反过来,将若干个1通过四则运算构造一个正整数的操作称为这些1的四则堆垒。如果其中不含有减和除,则称为半四则堆垒。所能得到的最大数称为最大四则堆垒。
表1  两数列的前99项。
  n   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
a(n) 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 7 8 8 8 8 9 8 9 9 9 10 10 9 10 10 9 10 11 10 11 10 11 11 11
b(n) 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 7 8 8 8 8 9 8 9 9 9 10 11 9 10 10 9 10 11 10 11 10 11 11 11
  n   36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
a(n) 10 11 11 11 11 12 11 12 12 11 12 12 11 12 12 12 12 12 11 12 12 12 13 13 12 13 13 12 12 13 13 14
b(n) 10 11 11 11 11 12 11 12 12 11 12 13 11 12 12 12 12 13 11 12 12 12 13 14 12 13 13 12 12 13 13 14
  n   68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
a(n) 13 13 13 13 12 13 13 13 13 14 14 14 13 12 13 14 13 14 14 14 14 14 13 14 14 14 14 14 13 14 14 14
b(n) 13 13 13 14 12 13 13 13 13 14 14 15 13 12 13 14 13 14 14 14 14 15 13 14 14 14 15 14 13 14 14 14

        显然,a(n)≤b(n). 从表中可见,在大多数情况下都有a(n)=b(n). 使a(n)<b(n)最小的n=23. 前99项中a(n)<b(n)的只有n=23, 47, 53, 59, 71, 79, 89, 94.
        对应给定的长度p>5, a(n)=p不止一个 n. 比如a(n)=6的有3解{7, 8, 9}. a(n)=7的解集为{10, 12}, a(n)=8的解集为{11, 13, 14, 15, 16, 18}. 容易知道,这些解集的的最大元素为3q(p=3q时), 2·3q(p=3q+2时)或4·3q(p=3q+4时) .
        由最小性定义可知,a(n)序列的相邻两项相差不超过1,即|a(n+1)-a(n)|≤1.  所以 |a(n+d)-a(n)|≤d. 如果 |a(n+d)-a(n)|=d, 从a(n)到a(n+d)就是一个长为d+1的连续自然数段。比如表1中的a(81)附近有一个长为3的自然数段{12, 13, 14}。据有关文献,在2*10^11以内,观察到的连续自然数段最长为7.
        以下性质有助于计算a(n):
        一、a(n) ≤Min{a(n+1)+1, a(n-1)+1}。若 n 是较大的素数,不等式取等号。
        二、a(n)≤a(d)+a(n/d),d是n的真因子。
        三、综合一和二,当n 为合数时,a(n)=Min{a(n+1)+1, a(n-1)+1, a(d)+a(n/d) }(d跑遍n的真因子)

然而我的猜想与a(n)这些玄妙的性质都没有关系,我的猜想是:
裴进兵猜想: 当n≥4时,n可表为1到n之间任意a(n)个正整数的四则运算。
例如,对于n=23,a(23)=10,从1到23任意选取10个数 8、10、14、19、11、12、17、7、15、14,
                   23=11+12+14-10-19+17-8+7-15+14

      我的邮箱是peijinbing@163.com, QQ:2756772317  ,非常诚恳的邀请大家联系我

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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2015-6-10 12:16:35 | 显示全部楼层
对于一个大数n,  怎么快速求a(n) , 可以编程试试   里面肯定包含3*3*3*3……
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发表于 2015-6-10 12:22:21 | 显示全部楼层
1000=2*2*2*5*5*5   a(1000)=21
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发表于 2015-6-11 15:54:41 | 显示全部楼层
算了下,n≤339322的时,a(n)≤40。M的代码如下:
ss = {{1}};
c[sa_, sb_] := Union[Flatten[{Outer[Plus, sa, sb], Outer[Subtract, sa, sb],  Outer[Times, sa, sb]}]];
Do[ss = AppendTo[ss, Complement[Flatten[Table[c[ss[[i]], ss[[k - i]]], {i, k - 1}]], Flatten[ss[[Range[k - 1]]]]]], {k, 2, 40}];
ss0 = Map[Select[#, # > 0 &] &, ss];
p = Table[0, {Max[ss0]}];
Do[p[[ss0[[k]]]] = k;, {k, Length[ss0]}];
ans = Take[p, First[First[Position[p, 0]]] - 1];
其中,ss0的第k项,就是p=k可凑成的数。
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发表于 2015-6-11 16:20:19 | 显示全部楼层
a(3n)=a(3)+a(n)居然不成立。观察OEIS网站提供的10000以内的数据,发现以下6个反例:
n3na(n)a(3n)
15794737=2^7*37+12426
20776231=4*19*82-12527
23477041=2^7*55+12527
23897167=2^10*7-12527
27318193=2^13+12527
30919272=2*19*244+12628

b(3n)=b(3)+b(n)也不成立,反例更早,b(107)=16,  b(321)=b(320)+1=18
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发表于 2015-6-11 16:37:26 | 显示全部楼层
参考一下http://oeis.org/A091333
呵呵,说明减法是必要的,那么除法呢?
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发表于 2015-6-11 16:52:46 | 显示全部楼层
感觉lz的猜想可能有些问题,例如很可能a(21000)=2000,那么,随便找2000个数,例如1到2000吧,用它们凑出21000来貌似是挺难的。
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 楼主| 发表于 2015-6-12 20:22:41 | 显示全部楼层
a(n)<a(n/d)+a(d)的一些简单例子:
a(n)a(n/d)+a(d)
a(55)=a(54)+1=12 a(5)+a(11)=13
a(82)=a(81)+1=13 a(2)+a(41)=14
a(110)=a(2)+a(55)=14 a(5)+a(22)=a(10)+a(11)=15
a(121)=a(120)+1=152a(11)=16
a(134)=a(135)+1=15 a(2)+a(67)=16
a(143)=a(144)+1=15a(11)+a(13)=16
a(145)=a(144)+1=15a(5)+a(29)=16
a(161)=a(162)+1=15a(7)+a(23)=16
a(165)=a(3)+a(55)=15a(11)+a(15)=a(5)+a(33)=16
a(244)=a(243)+1=16 a(2)+a(122)=17
a(1331)=a(1332)+1=22a(11)+a(121)=23

只有n的质因子除2、3、5、7外没有更大的,才能对n的任意真因子 d 普遍成立a(n)=a(n/d)+a(d)。从而a(n)=∑d(d跑遍n的所有质因子,计重数)
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发表于 2015-6-13 20:57:08 | 显示全部楼层
裴进兵 发表于 2015-6-12 20:22
只有n的质因子除2、3、5、7外没有更大的,才能对n的任意真因子 d 普遍成立a(n)=a(n/d)+a(d)。从而a(n)=∑d(d跑遍n的所有质因子,计重数)


我看到了两份文献,即使n的质因子都是较小的2,3,5,7,上述结论也不成立.

1、对于a(2n)=n*a(2)=2n, 还是一个猜想,可能十分困难。并且还有反向猜想认为对于充分大的n, a(2n)<2n.
2、对于a(3n)=n*a(3)=3n, 这是成立的。
3、对于a(5n)=n*a(5)=5n, 已经找到两个压缩点。a(56)=29<30, 是第一个压缩点,a(536)=173<29*6是第二个压缩点。

我从OEIS网站提供的10000以内的数据中也观察到一个反例,是5和7的一个组合压缩点:
54·7=2·37+1,所以a(54·7)=2+3·7+1=24, 而4a(5)+a(7)=26. 一下子压缩了2度。
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 楼主| 发表于 2015-6-13 21:59:26 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2015-6-13 20:57
我看到了两份文献,即使n的质因子都是较小的2,3,5,7,也不成立a(n)=a(n/d)+a(d).

观察a(3q)=3q,  a(2⋅3q)=3q+2, a(4⋅3q)=3q+4 及15625=23*32(23*33+1)+1,a(15625)=29
是否分解式全是数字1、2、3?
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