我自己琢磨的，恳请大家帮忙论证·

裴进兵

正整数的四则分解与堆垒

        将一个正整数 n 表为若干个 1 的四则运算称为 n 的四则分解。如果其中不含有减和除，则称为半四则分解（虽然只有加乘两种运算）。所含1的数量称为分解的长度。长度最小的分解称为 n 的最小四则分解。这个最小长度记为a(n)（和b(n)）, 且都称为 n 的分子量（有文献定义为复杂度），这就得到了两个数列。a(n)即OEIS的A091333（感谢@zhouguang提供链接）, b(n)即A005245（感谢管理员提供链接）。显然，在最小四则分解中，除法是用不上的。
        反过来，将若干个1通过四则运算构造一个正整数的操作称为这些1的四则堆垒。如果其中不含有减和除，则称为半四则堆垒。所能得到的最大数称为最大四则堆垒。
表1  两数列的前99项。

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
a(n)	1	2	3	4	5	5	6	6	6	7	8	7	8	8	8	8	9	8	9	9	9	10	10	9	10	10	9	10	11	10	11	10	11	11	11
b(n)	1	2	3	4	5	5	6	6	6	7	8	7	8	8	8	8	9	8	9	9	9	10	11	9	10	10	9	10	11	10	11	10	11	11	11

n	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67
a(n)	10	11	11	11	11	12	11	12	12	11	12	12	11	12	12	12	12	12	11	12	12	12	13	13	12	13	13	12	12	13	13	14
b(n)	10	11	11	11	11	12	11	12	12	11	12	13	11	12	12	12	12	13	11	12	12	12	13	14	12	13	13	12	12	13	13	14

n	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
a(n)	13	13	13	13	12	13	13	13	13	14	14	14	13	12	13	14	13	14	14	14	14	14	13	14	14	14	14	14	13	14	14	14
b(n)	13	13	13	14	12	13	13	13	13	14	14	15	13	12	13	14	13	14	14	14	14	15	13	14	14	14	15	14	13	14	14	14

        显然，a(n)≤b(n). 从表中可见，在大多数情况下都有a(n)=b(n). 使a(n)<b(n)最小的n=23. 前99项中a(n)<b(n)的只有n=23, 47, 53, 59, 71, 79, 89, 94.
        对应给定的长度p>5, a(n)=p不止一个 n. 比如a(n)=6的有3解{7, 8, 9}. a(n)=7的解集为{10, 12}, a(n)=8的解集为{11, 13, 14, 15, 16, 18}. 容易知道，这些解集的的最大元素为3^q（p=3q时）, 2·3^q(p=3q+2时)或4·3^q(p=3q+4时) .
        由最小性定义可知，a(n)序列的相邻两项相差不超过1，即|a(n+1)-a(n)|≤1.  所以 |a(n+d)-a(n)|≤d. 如果 |a(n+d)-a(n)|=d, 从a(n)到a(n+d)就是一个长为d+1的连续自然数段。比如表1中的a(81)附近有一个长为3的自然数段{12, 13, 14}。据有关文献，在2*10^11以内，观察到的连续自然数段最长为7.
        以下性质有助于计算a(n):
        一、a(n) ≤Min{a(n+1)+1, a(n-1)+1}。若 n 是较大的素数，不等式取等号。
        二、a(n)≤a(d)+a(n/d)，d是n的真因子。
        三、综合一和二，当n 为合数时，a(n)=Min{a(n+1)+1, a(n-1)+1, a(d)+a(n/d) }(d跑遍n的真因子)

然而我的猜想与a(n)这些玄妙的性质都没有关系，我的猜想是：
裴进兵猜想： 当n≥4时，n可表为1到n之间任意a(n)个正整数的四则运算。
例如，对于n=23，a(23)=10，从1到23任意选取10个数 8、10、14、19、11、12、17、7、15、14,
                   23=11+12+14-10-19+17-8+7-15+14

      我的邮箱是peijinbing@163.com, QQ：2756772317  ，非常诚恳的邀请大家联系我

倪举鹏

对于一个大数n,  怎么快速求a(n) , 可以编程试试   里面肯定包含3*3*3*3……

倪举鹏

1000=2*2*2*5*5*5   a(1000)=21

zhouguang

算了下，n≤339322的时，a(n)≤40。M的代码如下：
ss = {{1}};
c[sa_, sb_] := Union[Flatten[{Outer[Plus, sa, sb], Outer[Subtract, sa, sb],  Outer[Times, sa, sb]}]];
Do[ss = AppendTo[ss, Complement[Flatten[Table[c[ss[[i]], ss[[k - i]]], {i, k - 1}]], Flatten[ss[[Range[k - 1]]]]]], {k, 2, 40}];
ss0 = Map[Select[#, # > 0 &] &, ss];
p = Table[0, {Max[ss0]}];
Do[p[[ss0[[k]]]] = k;, {k, Length[ss0]}];
ans = Take[p, First[First[Position[p, 0]]] - 1];
其中，ss0的第k项，就是p=k可凑成的数。

hujunhua

a(3n)=a(3)+a(n)居然不成立。观察OEIS网站提供的10000以内的数据，发现以下6个反例：

n	3n	a(n)	a(3n)
1579	4737=2^7*37+1	24	26
2077	6231=4*19*82-1	25	27
2347	7041=2^7*55+1	25	27
2389	7167=2^10*7-1	25	27
2731	8193=2^13+1	25	27
3091	9272=2*19*244+1	26	28

b(3n)=b(3)+b(n)也不成立，反例更早，b(107)=16,  b(321)=b(320)+1=18

zhouguang

参考一下http://oeis.org/A091333
呵呵，说明减法是必要的，那么除法呢？

zhouguang

感觉lz的猜想可能有些问题，例如很可能a(2¹⁰⁰⁰)=2000，那么，随便找2000个数，例如1到2000吧，用它们凑出2¹⁰⁰⁰来貌似是挺难的。

裴进兵

a(n)<a(n/d)+a(d)的一些简单例子：

a(n)	a(n/d)+a(d)
a(55)=a(54)+1=12	a(5)+a(11)=13
a(82)=a(81)+1=13	a(2)+a(41)=14
a(110)=a(2)+a(55)=14	a(5)+a(22)=a(10)+a(11)=15
a(121)=a(120)+1=15	2a(11)=16
a(134)=a(135)+1=15	a(2)+a(67)=16
a(143)=a(144)+1=15	a(11)+a(13)=16
a(145)=a(144)+1=15	a(5)+a(29)=16
a(161)=a(162)+1=15	a(7)+a(23)=16
a(165)=a(3)+a(55)=15	a(11)+a(15)=a(5)+a(33)=16
a(244)=a(243)+1=16	a(2)+a(122)=17
a(1331)=a(1332)+1=22	a(11)+a(121)=23

只有n的质因子除2、3、5、7外没有更大的，才能对n的任意真因子 d 普遍成立a(n)=a(n/d)+a(d)。从而a(n)=∑d(d跑遍n的所有质因子，计重数)

hujunhua

裴进兵 发表于 2015-6-12 20:22
只有n的质因子除2、3、5、7外没有更大的，才能对n的任意真因子 d 普遍成立a(n)=a(n/d)+a(d)。从而a(n)=∑d(d跑遍n的所有质因子，计重数)

我看到了两份文献，即使n的质因子都是较小的2，3，5，7，上述结论也不成立.

1、对于a(2ⁿ)=n*a(2)=2n, 还是一个猜想，可能十分困难。并且还有反向猜想认为对于充分大的n, a(2ⁿ)<2n.
2、对于a(3ⁿ)=n*a(3)=3n, 这是成立的。
3、对于a(5ⁿ)=n*a(5)=5n, 已经找到两个压缩点。a(5⁶)=29<30, 是第一个压缩点，a(5³⁶)=173<29*6是第二个压缩点。

我从OEIS网站提供的10000以内的数据中也观察到一个反例，是5和7的一个组合压缩点：
5⁴·7=2·3⁷+1,所以a(5⁴·7)=2+3·7+1=24, 而4a(5)+a(7)=26. 一下子压缩了2度。

裴进兵

hujunhua 发表于 2015-6-13 20:57
我看到了两份文献，即使n的质因子都是较小的2，3，5，7，也不成立a(n)=a(n/d)+a(d).

观察a(3^q)=3q,  a(2&#8901;3^q)=3q+2, a(4&#8901;3^q)=3q+4 及15625=2³*3²(2³*3³+1)+1，a(15625)=29
是否分解式全是数字1、2、3？