过任意点作直线将三角形面积平分

无心人

分形论－奇异性探索  林鸿溢  李映雪
      北京理工大学出版社
                     1992年9月

呵呵，我这里有一本哦

gxqcn

可惜啊，
我只有干羡慕的份了。。。

另，昨晚惊奇的发现本帖原博主matrix67 注册进了本论坛，
我通过论坛短消息与他聊了会（他以前也曾来过本论坛，昨天是从CSDN点进来的）。

无心人

呵呵
我丢的书更稀罕
我曾被人拿走一本 棋牌大全
真正的大全
曰会送会来
至今没送回来

zgg___

对于2层的问题，我们可以先画出将给定三角形等分的所有的直线（如下图左，其中只画了一部分），这些直线“包络”出一块面积D（如下图右中灰色区域），D内的点有3条直线，D边界上的点有2条，平面上的其它点有1条。

设三角形的三个顶点在(xa,ya)、(xb,yb)和(xc,yc)，那么a点对面的那条曲线的参数方程为：
x=((1+2t-t^2)xa+(1+t)^2*xb+2xc)/(4(1+t))
y=((1+2t-t^2)ya+(1+t)^2*yb+2yc)/(4(1+t))
其中参数t的取值从0到1（取0或1时对应交点），靠近点a的交点为((2xa+xb+xc)/4,(2ya+yb+yc)/4)。
这三条曲线的延长线以三角形的三边为渐进线。对于顶点在((0,0),(1,0),(0,1))的特例，三条曲线为：y=1/(8x)（双曲哟）、y=1-x-1/(8x)和x=1-y-1/(8y)。

gxqcn

结论比较出乎意料：有且仅有两条等分线的点的点集居然是条封闭曲线。
谢谢zgg___，不愧是解题大师！

gxqcn

原帖由 zgg___ 于 2008-7-25 16:17 发表
对于2层的问题，我们可以先画出将给定三角形等分的所有的直线（如下图左，其中只画了一部分），这些直线“包络”出一块面积D（如下图右中灰色区域），D内的点有3条直线，D边界上的点有2条，平面上的其它点有1条。
4 ...

我觉得“D边界上的点有2条”需要剔除3个顶点，
它们正好都是D与三角形三条中线的交点，应该仅有1条直线可平分。

白白白

过任一点平分三角形尺规作图是有作法的，翻老帖补充一下，https://wenku.baidu.com/view/36c53ff4e2bd960591c67707.html