奇妙的平方数拆分组合(内含Pell方程链接)

mathe

首先我们知道k是3的倍数的时候没有非0解，所以仅考虑k不是3的倍数的情况。
这时如果y和z一个数中含有2或5的因子，对应另外一个数也必须含有，我们可以将这些公因子消去，同样对于其他素数公因子也可以消去，最后我们得到一个化简的方程形如:
$2^a5^bx^3=z^3-y^3$,其中三个数$y^3,z^3,2^a5^bx^3$两两互素，而且$a-=b!=0(mod 3)$,x不含因子2和5
由于y,z互素，方程左边是偶数，所以必然有y和z都是奇数，所以$y^2+yz+z^2$是奇数.
而且$(z-y,z^2+zy+y^2)=(z-y,3zy)=(z-y,3)$,所以z-y和$z^2+zy+y^2$的公因子是1或3。
如果两者公因子是1，那么u,v都不是3的倍数,那么我们知道只能是一下两种情况:
i)${(z-y=2^a*u^3),(z^2+zy+y^2=5^b*v^3):}$
  即$3(z+y)^2=4*5^b*v^3-4^a*u^6$，由于(5,u)=1,两边同时模5得到
   $+-3,0-=+-1(mod 5)$矛盾，所以这种情况可以淘汰
ii)${(z-y=2^a5^bu^3),(z^2+zy+y^2=v^3):}$
即$3(z+y)^2=4v^3-4^a25^bu^6$,两边同时模9
左边模9只能是0或3，而$v^3$模9为$+-1$,$4^a25^b=100^b*64^{{a-b}/3}-=1(mod9),u^6=1(mod9)$
得到$v^3=(z+y)^2=1(mod 9)$,这里好像还是不行，再看看

mathe

而同样再z-y和$z^2+zy+y^2$公因子是3的时候也分两种情况，同样第一种非常容易淘汰，而第二种比较难淘汰。

无心人

只考虑10， 100就可以了

lykin

不明白是怎么得来的

winxos

我以前参考人家的一篇论文写了个计算根号连分数算法，不知道各位有没其他更高效算法？
我觉得这个已经很快了。
vector<int> sqrt2Fraction(long n)//计算根号的连分数，返回连分数序列
        {
                vector<int> ret;
                long sn=sqrt(n);
                ret.push_back(sn);//返回值的格式为 根号整数部分+连分数部分
                if( sn*sn!=n)
                {
                        long p=0,q=1,a;
                        long bp,bq,ba,bbp,bbq,bba;//,p1,p2,p3;
                        a=sn;
                        bbp = a*q-p;
                        bbq = ( n - bbp*bbp)/q;
                        bba = ( a + bbp)/bbq;
                        ret.push_back(bba);
                        p = bbp; q = bbq; a = bba;
                        while(true)
                        {
                                bp = a*q - p;
                                bq = ( n - bp*bp)/q;
                                ba = ( sn + bp)/bq;
                                p = bp; q = bq; a = ba;       
                                if (( a==bba)&&( p==bbp)&&( q==bbq)) break;
                                ret.push_back(ba);   
                        }
                }
                return ret;
        }

无心人

我倾向于么有解

282842712474

这样的数我可以找到好多呀，尽管是比较大，但是还是比较好找的

mathabc

楼主对数论感兴趣，数论这个东东听说难死人了。

〇〇

一个数是另一个整数的平方并不希奇，
但一个完全平方数可以分拆成两个完全平方数就比较奇特了。如49分成4和9，它们均是某个整数的平方。

下面列举的是前32个（据说10亿以下仅有119个）：


还有更奇妙的，其中 ...
gxqcn 发表于 2008-10-29 20:02

用oracle求得的前207个

---------------- ------------------------ ------------------------
              49                        4                        9
             169                       16                        9
             361                       36                        1
            1225                        1                      225
            1444                      144                        4
            1681                       16                       81
            3249                      324                        9
            4225                        4                      225
            4900                        4                      900
           15625                        1                     5625
           16900                       16                      900
           36100                       36                      100
           42025                        4                     2025
           49729                       49                      729
           64009                     6400                        9
           81225                       81                      225
           93025                        9                     3025
          122500                        1                    22500
          144400                      144                      400
          168100                       16                     8100
          225625                      225                      625
          237169                    23716                        9
          324900                      324                      900
          422500                        4                    22500
          490000                        4                    90000
          519841                    51984                        1
          819025                       81                     9025
          950625                        9                    50625
          970225                        9                    70225
         1024144                     1024                      144
         1442401                      144                     2401
         1562500                        1                   562500
         1600225                     1600                      225
         1690000                       16                    90000
         1692601                      169                     2601
         2079364                   207936                        4
         2304324                     2304                      324
         3136441                     3136                      441
         3610000                       36                    10000
         4096576                     4096                      576
         4202500                        4                   202500
         4678569                   467856                        9
         4950625                        4                   950625
         4950625                       49                    50625
         4972900                       49                    72900
         5184729                     5184                      729
         5769604                      576                     9604
         5929225                     5929                      225
         6400900                     6400                      900
         8122500                       81                    22500
         9302500                        9                   302500
         9455625                        9                   455625
         9765625                        9                   765625
        12250000                        1                  2250000
        14440000                      144                    40000
        15405625                        1                  5405625
        16810000                       16                   810000
        22562500                      225                    62500
        23716900                    23716                      900
        24019801                     2401                     9801
        32490000                      324                    90000
        36156169                      361                    56169
        42250000                        4                  2250000
        49000000                        4                  9000000
        49632025                       49                   632025
        51984100                    51984                      100
        63504961                    63504                      961
        67650625                      676                    50625
        78411025                      784                    11025
        81902500                       81                   902500
        92294449                  9229444                        9
        92640625                        9                  2640625
        95062500                        9                  5062500
        96138025                      961                    38025
        97022500                        9                  7022500
       102414400                     1024                    14400
       116964225                   116964                      225
       123765625                        1                 23765625
       129618225                     1296                    18225
       144240100                      144                   240100
       144600625                      144                   600625
       152127556                     1521                    27556
       156250000                        1                 56250000
       160022500                     1600                    22500
       169000000                       16                  9000000
       169260100                      169                   260100
       193627225                     1936                    27225
       207936400                   207936                      400
       230432400                     2304                    32400
       270438025                     2704                    38025
       313644100                     3136                    44100
       324540225                      324                   540225
       324900625                   324900                      625
       341991049                 34199104                        9
       360050625                     3600                    50625
       361000000                       36                  1000000
       361950625                      361                   950625
       409657600                     4096                    57600
       420250000                        4                 20250000
       462465025                     4624                    65025
       467856900                   467856                      900
       485100625                        4                 85100625
       495062500                        4                 95062500
       495062500                       49                  5062500
       497290000                       49                  7290000
       518472900                     5184                    72900
       576960400                      576                   960400
       577681225                     5776                    81225
       592922500                     5929                    22500
       624100324                   624100                      324
       640090000                     6400                    90000
       705699225                     7056                    99225
       749609641                 74960964                        1
       812250000                       81                  2250000
       817102225                       81                  7102225
       915849169                   915849                      169
       930250000                        9                 30250000
       945562500                        9                 45562500
       976562500                        9                 76562500
      1024576081                     1024                   576081
      1225000000                        1                225000000
      1404225729                  1404225                      729
      1444000000                      144                  4000000
      1540562500                        1                540562500
      1587624025                    15876                    24025
      1681000000                       16                 81000000
      1691265625                      169                  1265625
      1699500625                       16                 99500625
      2256250000                      225                  6250000
      2307361225                  2307361                      225
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207 rows selected.

huangyh221

$f(x)={(1,(x!=0)),(x^2+1,(x=0)):} $
我觉得这个公式可以用！\(^o^)/~