求通解

northwolves

令 y=tx, t\in QQ，代入原方程，得
x^2(1+t^2)=x^3(1+t^3)
故有 x=0 或 x=(1+t^2)/(1+t^3)
所以原方程在有理域的通解为：
{(x=0),(y=0):} 或 {(x=0),(y=1):} 或 {(x=(1+t^2)/(1+t^3)),(y=(t+t^3)/(1+t^3)):}\qua ...
gxqcn 发表于 2010-1-23 07:52

通俗易懂。
我9楼的那个推导哪里不对呢？

数学星空

令$x^3-x^2=y^3-y^2=a$
则$x,y,1-x-y$分别是方程$z^3-z^2-a=0$的三个根.
$xy+x(1-x-y)+y(1-x-y)=0$
$x^2+xy+y^2=x+y$
令$y=tx,t\in Q$,则:
$x^2+tx+t^2x^2=x+tx$
$x=\frac{t+1}{t^{2}+t+1},y=\frac{t^{2}+t}{t ...
northwolves 发表于 2010-1-22 23:45

第一步移项错了: 应该是$x^3-x^2=y^2-y^3=a$
即$x,-y,1+y-x $是方程$z^3-z^2-a=0$的根
有$-x*y+x*(1+y-x)-y*(1+y-x)=0$
......

northwolves

第一步移项错了: 应该是$x^3-x^2=y^2-y^3=a$
即x,-y,1+y-x 是方程z^3-z^2-a=0的根
有-x*y+x*(1+y-x)-y*(1+y-x)=0
......
数学星空 发表于 2010-1-23 18:16

呵呵,多谢指教

gxqcn

我当时也有点纳闷：怎么相同的设定，会有不同的答案，难道它们等价？
不过，在我特地验算了一遍自己的答案、确认无误后就没有再仔细推敲了。