莫比乌斯

hujunhua

暂时还看不到“麦比乌斯反演”对于这个函数的计算和推导有何帮助。

aimisiyou

令 \(\displaystyle F(n)=\sum_{d|n} f(d)=2f(n) \), 故 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d|n}u\left(\frac {n}{d}\right)F(d)=\sum_{d|n}u\left(\frac {n}{d}\right)2f(d) \)

aimisiyou

当 \(n=p^iq^j\), 有\(f(p^iq^j)=\displaystyle \sum_{d|n}u\left(\frac {n}{d}\right)2f(d)=2f(p^iq^j)-2f(p^{i-1}q^j)-2f(p^iq^{j-1})+2f(p^{i-1}q^{j-1})\),
即       \(g(i,j)=2g(i-1,j)+2g(i,j-1)-2g(i-1,j-1)\),  \( (i+j>3)\)
初值：\(g(0,0)=1,g(1,1)=3,g(i,0)=2^{i-1},g(0,j)=2^{j-1}\)

hujunhua

g[m_, n_] :=
计算`g(i,j)`的M10程序

1. Module[{f}, f[0, 0] = 1; f[1, 1] = 3; f[i_, 0] := 2^(i - 1);
   
2.   f[0, i_] := 2^(i - 1);
   
3.   f[i_, j_] :=
   
4.    f[i, j] = 2 f[i, j - 1] + 2 f[i - 1, j] - 2 f[i - 1, j - 1];
   
5.   f[m, n]
   
6.   ]
   
7. Table[g[m, n], {m, 0, 10}, {n, 0, 10}] // TableForm

复制代码

输出的前121项结果如下
1        1                2                4                8                16                32                        64                        128                        256                        512
1        3                8                20                48                112                256                        576                        1280                2816                6144
2        8                26                76                208                544                1376                3392                8192                19456                45568
4        20                76                252                768                2208        6080                16192                41984                106496                265216
8        48                208                768                2568        8016        23776                67776                187136                503296                1324032
16        112                544                2208        8016        26928        85376                258752                756224                2144768                5931008
32        256                1376        6080        23776        85376        287648                922048                2839040                8455168                24482816
64        576                3392        16192        67776        258752        922048                3112896                10059776        31351808        94758912
128        1280        8192        41984        187136        756224        2839040                10059776        34013312        110610688        348035584
256        2816        19456        106496        503296        2144768        8455168                31351808        110610688        374416128        1223682048
512        6144        45568        265216        1324032        5931008        24482816        94758912        348035584        1223682048        4145895936

aimisiyou

hujunhua 发表于 2016-4-1 17:51
g[m_, n_] :=
计算`g(i,j)`的M10程序

感觉数值大了递归运算很吃力吧！再者，由g(i,j)向g(i,j,k,……)发展更复杂。

aimisiyou

EXCEL里直接拖拉易得结果。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2016-3-29 12:02
`f(p^k)=2^{k-1}`, (`p`为素数，`k>0` 时）
`\D f(n)=h(k)=\sum_{r=0}^{k-1}C_k^rh(r),h(0)=1`. 当 `n` 是 ...

\(h(k)的显式能求出来么？\)