用初等函数组成的式子（允许无限运算）表示高次方程的解

manthanein

仅考虑实数范围一元整式方程。
按照阿贝尔和伽罗华的理论，一般的高次方程，次数大于4，是没有根式解的。
不过如果不限于四则运算和开方，而是加上其他方法呢？
因此，我们考虑由方程系数组成的初等函数式，允许分段函数，允许极限运算（包括定积分，无穷级数……）。
那么是不是五次方程甚至次数更高一点的方程的根也能表示出来呢？

zeroieme

你心中初等函数的定义是什么？我觉得定积分，无穷级数不是初等函数。

manthanein

zeroieme 发表于 2016-10-18 21:38
你心中初等函数的定义是什么？我觉得定积分，无穷级数不是初等函数。

高数书上那套初等函数定义。
我并没有说定积分、无穷级数是初等函数，只是说可以用初等函数的积分、无穷多个初等函数相加的形式。
看来标题不太对。

zeroieme

manthanein 发表于 2016-10-18 22:04
高数书上那套初等函数定义。
我并没有说定积分、无穷级数是初等函数，只是说可以用初等函数的积分、无穷 ...

于是——所有函数都能以泰勒级数展开。

282842712474

都允许无限了，肯定可以展开为泰勒级数的形式了。通过mathematica求反演级数就行了，比如
$$x^4+x^5=y$$
代码

1. InverseSeries[x^4 + x^5 + O[x]^20, y]

复制代码

给出
$$x=\sqrt[4]{y}-\frac{\sqrt{y}}{4}+\frac{7 y^{3/4}}{32}-\frac{y}{4}+\frac{663 y^{5/4}}{2048}-\frac{231 y^{3/2}}{512}+\dots$$
为了提高收敛速度，通常来说还要根据数字来做不同的变换，然后再进行展开。比如，当$y=3$时，可以设$x=t+1$，那么
$$y=(t+1)^4+(t+1)^5$$
得到
$$t=\frac{y-2}{9}-\frac{16}{729} (y-2)^2+\frac{386 (y-2)^3}{59049}-\frac{10886 (y-2)^4}{4782969}+\frac{333683 (y-2)^5}{387420489}-\frac{3591308 (y-2)^6}{10460353203}+\dots$$
这样收敛速度就快一些了。