无穷级数：分数之和

manthanein

先来看一个问题，计算这个无穷级数之和得到：
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k(2k-1)} = \ln{2} \)
或者写成：
\(\D \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3\times 4}+…=\ln{2}\)
裂项后很容易证明。
考虑一下更一般的情形，\(m\)是指定的正整数：
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\D \prod_{i=1}^{m} (mk-m+i)} \)
这个无穷级数的和，以目前的数学知识，能求出来吗？（或者证明不存在）

kastin

没有通解表达式，但对于具体的 `m` 是可求的。
比如 `m=2\sim6`时，结果如下

1. f[m_] = 1/Product[m k - m + i, {i, 1, m}];
   
2. Table[Sum[f[m], {k, 1, Infinity}], {m, 2, 6}] // FullSimplify // TableForm

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\begin{array}{l}
\ln  2 \\
\frac{\sqrt{3}\pi -3 \ln 3}{12} \\
\frac{6\ln 2-\pi}{24} \\
\frac{1}{96} \left(2\sqrt{5-2\sqrt{5}}\pi -\ln 5 -2\sqrt{5}\,\mathrm{arccoth}\sqrt{5}\right) \\
\frac{192\ln 2 - 81\ln 3-7\sqrt{3}\pi}{4320}
\end{array}

manthanein

kastin 发表于 2016-11-24 13:41
没有通解表达式，但对于具体的 `m` 是可求的。
比如 `m=2\sim6`时，结果如下\begin{array}{l}
\ln  2 \\ ...

神人啊，居然能求出结果。
不过为什么没有通解表达式呢？能证明不？欧拉研究正整数的幂的倒数和的无穷级数，偶数次幂的通解表达式也出来了（奇数幂貌似还没有）。
希望能看看国内外是否已经有人研究过这个问题了。

kastin

manthanein 发表于 2016-11-24 22:03
神人啊，居然能求出结果。
不过为什么没有通解表达式呢？能证明不？欧拉研究正整数的幂的倒数和的无穷级 ...

参见这个帖子
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5649-1-1.html

wayne

答案是肯定的。 极限和存在，而且可以求。
设 $g(a,m) = 1/{(a+1)(a+2)...(a+m)}$,则根据 $g(a,m) = 1/{m-1}(g(a,m-1)-g(a+1,m-1))$，不停的裂变，最终$m$降至$2$

wayne

额。 好像并没有帮助，sorry

wayne

设  $f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty}{x^{mk+m}}/{(mk+1)(mk+2)..(mk+m)}$, 那么，问题就简单了，问题变成了关于$f(x)$的$m$阶微分方程。$f^{(m)}(x) = 1/{1-x^m}$,其中$f(x)$的$0,1,....,m-1$阶导数在0处为0.

所以，对于给定的$m$,只需不停的蜕皮即可。经验证，跟前面kastin的计算结果一致。

1. m = 4; DSolve[ Flatten[{Derivative[m][y][x] == 1/(1 - x^m),  Table[Derivative[i][y][0] == 0, {i, 0, m - 1}]}], y[x], x][[1, 1, 2]]

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mathe

这应该算超几何级数的一种

wayne

mathe 发表于 2016-11-27 11:03
这应该算超几何级数的一种

超几何级数 种类繁多，计算规则陌生而有限。

我发现最终计算结果应该是关于 $\theta ={2\pi}/m$的三角函数表达式。因为将$e^{ik\theta},k\in[0,m-1]$ 代入微分方程，发现是 f(x)的根。