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[原创] 一个概率游戏的最佳策略

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发表于 2017-4-12 10:47:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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游戏开始时,两个玩家的初始得分都是$1$,他们进行$n$个回合的概率游戏。

在每个回合中:

  两个玩家各选定一个$0$到$1$之间的实数。

  假设玩家$1$选定的数是$a$,那么玩家$1$的得分有$a$的概率变成原来的$(2-a)$倍,有$(1-a)$的概率变成原来的$1/(1+a)$。

  类似的,如果玩家$2$选了实数$b$,那么他的得分有$b$的概率变成原来的$(2-b)$倍,有$(1-b)$的概率变成原来的$1/(1+b)$。

  两个玩家选数是同时进行的,数字选定之前无法知道对方选什么数,也无法知道随机结果。

  两个玩家的数字都选定之后,方可得知双方的随机结果和最新得分。

$n$个回合结束后,得分高的玩家胜出。

问:

当$n=1$时,他们的最佳策略是怎样的?

当$n=2$时,他们的最佳策略是怎样的?

当$n=3$时,他们的最佳策略是怎样的?

对于更大的$n$,如何求得最佳策略?

注:

如果玩家$2$无论采取什么策略,玩家$1$的胜率均不低于$50%$,那么玩家$1$的策略就是最佳策略。

我们要求的就是如上所述的最佳策略。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-12 15:34:15 | 显示全部楼层
对抗性何在?怎么感觉是各玩各的,两不相干。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-4-12 22:11:35 | 显示全部楼层
这个前提是每回合玩家1先选,玩家2可以根据玩家1的选择来决定自己的数
那么玩家2需要在玩家1的随机结果出来前决定还是结果出来后决定?

点评

两个玩家同时选数哦。数字选定之前,无法知道对方选什么数,更无法知道得分如何变化哦。  发表于 2017-4-12 23:34
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发表于 2017-4-12 22:17:51 | 显示全部楼层
n=1的时候,如果玩家2在玩家1结果出来后才选择,那么玩家2的胜率一定大于50%
如果在结果出来前选择,那么:
    如果玩家1的选择小于0.5,那么玩家2可以选择0或者1,玩家1胜率小于50%;
    如果玩家1的选择大于0.5,那么玩家2可以选择0.5+(a-0.5)/2,玩家1胜率仍然小于50%;
    如果玩家1的选择为0.5,那么至少可以保证50%胜率。
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 楼主| 发表于 2017-4-12 23:40:20 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2017-4-12 15:34
对抗性何在?怎么感觉是各玩各的,两不相干。

$n$个回合结束后,要比较最后的得分啊,得分高的玩家胜出哦
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发表于 2017-4-13 02:02:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 webcraft 于 2017-4-13 09:02 编辑

(原先审题错误,先删除,待重新编辑)
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发表于 2017-4-13 07:45:51 | 显示全部楼层
轮数充分大关键看期望值。
由于每次都是乘上一个数字,不好处理,但是我们可以将数字求对数就简单了,
每次$a$的概率增加$ln(2-a)$和$1-a$的概率减少$ln(1+a)$,得到大概每次$a~=0.792587$时可以有最大的期望
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发表于 2017-4-13 09:29:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2017-4-13 10:03 编辑

想了一下,这是一个类似石头剪刀布的游戏,问题的关键就是不能让对方猜到你出什么,所以即使你算出一个最佳数字使期望、概率最大,如果每次都用的话,对方总是可以针对你的选择做出更好的选择的

点评

如果第一个人累计大比分领先,那么他将采取更保守的策略。  发表于 2017-4-13 12:55
自取极值就是了,跟对方有何关系?我至今不知对抗性何在,难道所谓“原来的”是对方的?  发表于 2017-4-13 11:03
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发表于 2017-4-13 11:25:27 | 显示全部楼层
还有一个很重要的问题是,如果双方得分相同,这个结果算不算在那50%里?
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发表于 2017-4-13 13:22:18 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2017-4-12 15:34
对抗性何在?怎么感觉是各玩各的,两不相干。

我所看见的对抗性就是:当接近终局的时候,优先者应当使用保守策略,落后的使用激进策略。
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