一个概率游戏的最佳策略

KeyTo9_Fans

游戏开始时，两个玩家的初始得分都是$1$，他们进行$n$个回合的概率游戏。

在每个回合中：

　　两个玩家各选定一个$0$到$1$之间的实数。

　　假设玩家$1$选定的数是$a$，那么玩家$1$的得分有$a$的概率变成原来的$(2-a)$倍，有$(1-a)$的概率变成原来的$1/(1+a)$。

　　类似的，如果玩家$2$选了实数$b$，那么他的得分有$b$的概率变成原来的$(2-b)$倍，有$(1-b)$的概率变成原来的$1/(1+b)$。

　　两个玩家选数是同时进行的，数字选定之前无法知道对方选什么数，也无法知道随机结果。

　　两个玩家的数字都选定之后，方可得知双方的随机结果和最新得分。

$n$个回合结束后，得分高的玩家胜出。

问：

当$n=1$时，他们的最佳策略是怎样的？

当$n=2$时，他们的最佳策略是怎样的？

当$n=3$时，他们的最佳策略是怎样的？

对于更大的$n$，如何求得最佳策略？

注：

如果玩家$2$无论采取什么策略，玩家$1$的胜率均不低于$50%$，那么玩家$1$的策略就是最佳策略。

我们要求的就是如上所述的最佳策略。

hujunhua

对抗性何在？怎么感觉是各玩各的，两不相干。

whbns

这个前提是每回合玩家1先选，玩家2可以根据玩家1的选择来决定自己的数
那么玩家2需要在玩家1的随机结果出来前决定还是结果出来后决定？

whbns

n=1的时候，如果玩家2在玩家1结果出来后才选择，那么玩家2的胜率一定大于50%
如果在结果出来前选择，那么：
    如果玩家1的选择小于0.5，那么玩家2可以选择0或者1，玩家1胜率小于50%；
    如果玩家1的选择大于0.5，那么玩家2可以选择0.5+(a-0.5)/2，玩家1胜率仍然小于50%；
    如果玩家1的选择为0.5，那么至少可以保证50%胜率。

KeyTo9_Fans

hujunhua 发表于 2017-4-12 15:34
对抗性何在？怎么感觉是各玩各的，两不相干。

$n$个回合结束后，要比较最后的得分啊，得分高的玩家胜出哦

webcraft

（原先审题错误，先删除，待重新编辑）

mathe

轮数充分大关键看期望值。
由于每次都是乘上一个数字，不好处理，但是我们可以将数字求对数就简单了，
每次$a$的概率增加$ln(2-a)$和$1-a$的概率减少$ln(1+a)$,得到大概每次$a~=0.792587$时可以有最大的期望

lsr314

想了一下，这是一个类似石头剪刀布的游戏，问题的关键就是不能让对方猜到你出什么，所以即使你算出一个最佳数字使期望、概率最大，如果每次都用的话，对方总是可以针对你的选择做出更好的选择的

lsr314

还有一个很重要的问题是，如果双方得分相同，这个结果算不算在那50%里？

zeroieme

hujunhua 发表于 2017-4-12 15:34
对抗性何在？怎么感觉是各玩各的，两不相干。

我所看见的对抗性就是：当接近终局的时候，优先者应当使用保守策略，落后的使用激进策略。