求证一个面积不等式

TSC999

图中，ABCD 是一个梯形，E、F 是上、下底上的任意点。证明四边形 EGFH 的面积不大于梯形 ABCD 面积的四分之一。

mathe

连接EF,梯形AEFB中证明上下两三角形面积和大于左右两块和，正好是平均不等式

zeroieme

逻辑上相等也是不大于

mathe

前面我判断错了，的确不大于

mathematica

1. (*梯形的上底长是c+d,矩形的下底长是a+b,矩形高h*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. h=1;
   
4. ff=1/4*(a+b+c+d)/2*h-((a+b)/2*h-a/(a+c)*h*a/2-b/(b+d)*h*b/2)
   
5. fff=Numerator@Together[ff]
   
6. fa=D[fff,a]
   
7. fb=D[fff,b]
   
8. fc=D[fff,c]
   
9. fd=D[fff,d]
   
10. Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fd==0},{a,b,c,d}]
    

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使用微积分的办法,求解
0.25*梯形面积-EGFH的面积
其中假设了
BF=a,FC=b
AE=c,ED=d
梯形的高h
然后求驻点,然后求所有可能的最值.

\[\{\{c\to a,d\to b\},\{a\to 0,c\to 0,d\to b\}\}\]

mathematica

fz=a^2*b+a*b^2-2*a*b*c+b^2*c+b*c^2+a^2*d-2*a*b*d-2*a*c*d-2*b*c*d+c^2*d+a*d^2+c*d^2
要是能证明fz>=0,结论就成立
其中a>=0 b>=0 c>=0 d>=0
题目就是要证明这个不等式

mathematica

1. (*梯形的上底长是c+d,矩形的下底长是a+b,矩形高h*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. h=1;
   
4. ff=1/4*(a+b+c+d)/2*h-((a+b)/2*h-a/(a+c)*h*a/2-b/(b+d)*h*b/2)
   
5. fff=Numerator@Together[ff]
   
6. fa=D[fff,a]
   
7. fb=D[fff,b]
   
8. fc=D[fff,c]
   
9. fd=D[fff,d]
   
10. Reduce[fa==0&&fb==0&&fc==0&&fd==0,{a,b,c,d}]
    

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用这个可以求解出所有的解!
还是mathematica牛逼!
所以
fz=a^2*b+a*b^2-2*a*b*c+b^2*c+b*c^2+a^2*d-2*a*b*d-2*a*c*d-2*b*c*d+c^2*d+a*d^2+c*d^2
这个取最值的充要条件是a=c  b=d

mathematica

请上你的终极解法
我只会用微积分的办法求解!

mathematica

三角形ABG的面积等于三角形EGF的面积
三角形EFH的面积等于三角形HCD的面积

问题等价于
  三角形AGE的面积+三角形EHD的面积
+三角形BFG的面积+三角形FCH的面积
>=梯形ABCD面积的一半

mathematica

三角形ABG的面积等于三角形EGF的面积
三角形EFH的面积等于三角形HCD的面积

问题等价于
  三角形AGE的面积+三角形EHD的面积
+三角形BFG的面积+三角形FCH的面积
>=梯形ABCD面积的一半

红色填充的两块面积相等
绿色填充的两块面积相等
问题等价于非填充区域的面积大于梯形面积的一半


我会了!!!!!!!
连接EF
然后证明三角形AGE+三角形BGF>=0.5*梯形ABFE的面积
右边的同理,
然后两个不等式相加,就证明了命题!