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[求助] \(\frac{\dif f(x)}{\dif f'(x)}\)与\(\frac{\dif f’(x)}{\dif f(x)}\)

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发表于 2017-8-6 01:44:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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\(\dif f(x)\)与\(\dif f’(x)\)是否独立,若独立那么\(\frac{\dif f(x)}{\dif f'(x)}\)与\(\frac{\dif f’(x)}{\dif f(x)}\)都为0吗?
问题来自对\(F(x,f(x),f'(x))\)的变分,处理欧拉-拉格朗日微分方程
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-8-6 02:36:03 | 显示全部楼层
变分那里是求偏导数,不是全导数。。。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-8-6 16:22:17 | 显示全部楼层
不能这样理解的,你要把积分号也放在一起理解。被变分的式子是一个泛函,泛函的输出是一个数,输入是一个函数。
我们要研究输入的微小变化对输出造成的影响,所以就有了变分。
$$\mathscr{S}[x(t)] =\int_a^b F\Big(x(t),x'(t),t)dt$$
这样就定义了一个泛函。要研究变分就是要研究
$$\delta \mathscr{S}[x(t)] =\mathscr{S}[x(t)+\delta x(t)] - \mathscr{S}[x(t)]$$
这里的$\delta x(t)$是独立于$x(t)$的、满足0边界条件的任何函数。假如我们赋予它某种“小”的约束(认为它很“小”),我们就做近似展开
$$\delta \mathscr{S}[x(t)] = \int_a^b \frac{\partial F}{\partial x(t)}\delta x(t) dt + \frac{\partial F}{\partial x'(t)}\delta x'(t) dt$$
然后用分部积分法。你的疑问可能来自这里,为什么将$x(t),x'(t)$分别偏微分,它们之间没有联系吗?

$x(t),x'(t)$有联系,是它们作为$t$的函数有联系。但这里我们要算的是$F$函数的两个变量所形成的微分,自然是分别偏微分。至于$x(t),x'(t)$有什么联系,这不重要。

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 楼主| 发表于 2017-8-6 18:26:36 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2017-8-6 16:22
不能这样理解的,你要把积分号也放在一起理解。被变分的式子是一个泛函,泛函的输出是一个数,输入是一个函 ...

是的,求的是偏微分
我在看thin plate spline插值函数求解过程,刚看了变分法
薄板样条在1维时插值格林函数为\(|x_i-x_j|^3\),这个格林函数可以作为一个核函数吗,或者说矩阵\(G_{ij}=|x_i-x_j|^3\)是正定的吗?
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 8\\
1 & 0 & 1\\
8 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]
这个矩阵既不是正定的也不是负定的,但是看一些资料,说当需要拟合的点各自不同时,格林函数的矩阵是正定的,是不是哪里理解错了?
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